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2.2 非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的Backstepping設(shè)計(jì)方法[5,6,注4:本小節(jié)內(nèi)容部分的來源于國外的講義:Lectures 19&20:Backstepping]
本節(jié)討論非線性反饋控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的Backstepping設(shè)計(jì)方法。它是應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性方法，要求系統(tǒng)具有特殊的結(jié)構(gòu)，即實(shí)際控制的輸入通過一系列的積分器一步步到達(dá)一個(gè)個(gè)基本的子系統(tǒng)。設(shè)計(jì)的思路是通過先為基本的子系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定控制法則，再應(yīng)用積分器反向遞推（Backstepping）來獲得真實(shí)的控制法則。
考慮如下的非線性控制系統(tǒng)：
dη/dt=f(η)+g(η)ξ
dξ/dt=u (10)
其中η(t)∈Rn,ξ(t)∈R, f(0)=0。假設(shè)想讓原點(diǎn)(η,ξ)= (0,0)穩(wěn)定，同時(shí)又假設(shè)對(duì)于dη/dt子系統(tǒng)通過把ξ看作是一個(gè)輸入能夠設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定的反饋控制器。也就是說，假設(shè)選ξ=φ(η),并且φ(0)=0，穩(wěn)定如下系統(tǒng)的原點(diǎn)：
dη/dt=f(η)+g(η)φ(η) (11)
假設(shè)存在一個(gè)Lyapunov函數(shù)v(η)能證明子系統(tǒng)(11)中的dη/dt的漸進(jìn)穩(wěn)定性，也就是說，假設(shè)存在函數(shù)V(η)>0且：
，
這里W(η)是一個(gè)正定函數(shù)。
把方程(10)表示為如下形式：
dη/dt=(f(η)+g(η)φ(η))+g(η)(ξ－φ(η))
dξ/dt=u
把變量(η,ξ)換為(η, z)，這里z=ξ－φ(ξ)，則有：
dη/dt=(f(η)+g(η)φ(η))+g(η)z
dz/dt=u－dφ/dt
選擇u=v+dφ/dt則有：
dη/dt=(f(η)+g(η)φ(η))+g(η)z
dz/dt=v
如果z＝0
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