歷史上天才的世界里，數學與藝術領域的跨界人物頻出，如提出“萬物皆數”的畢達哥拉斯，把造型藝術與幾何學相連的阿爾貝蒂、達·芬奇和丟勒，“音樂家中的數學家”巴赫，“數學王子”高斯……筆者剛出版的《數學與藝術》一書，正是沿歷史軌跡，探究數學與藝術的關系的作品。
公元前11世紀，周公在洛水北岸建造了洛陽，后來成為東周國都。與周公同時代的大夫商高是西周初年的數學家，他率先指出了第一組勾股數：“勾廣三，股修四，徑隅五。”這是勾股定理的特例，后者是中國數學家的獨立發現，比古希臘的畢達哥拉斯定理要早。據中國最早的數學典籍之一《周髀算經》記載，一次周公在鎬京問商高：“聽說大夫擅長數學。天沒有臺階可攀登，地又不能用尺寸測量，請問數是怎樣得來的？”商高回答：“數是根據圓和方的道理得來的，圓從方來，方又從矩來，矩是依據乘法表來的。”周公曰：“大哉言數！”
而在美國紐約哥倫比亞大學，編號普林頓322號的泥板書則顯示，巴比倫人在此之前已經知道了勾股數組，其中最小的一組為（45、60、75），恰好是商高給出的那組數的15倍。上述例子或許可以說明，勾股數（畢達哥拉斯數組）可能是人類最早發現的自然數奧妙之一。同樣，數學可能是自然科學中最早出現的兩門學科之一，另一門是天文學。在古代，天文學家與數學家每每合二為一，正如戲劇家與詩人常常是同一個人。
數學誕生于游牧時代，那時人們的主要財產是牲畜。為了計算它們的只數，人們便學會了計數，繼而學會了加法和減法。而在藝術史上，最古老的創作形式可能要數巖畫。
1879年和1940年，一對西班牙父女和四位法國兒童先后發現了15000年前的史前巖畫，分別是在西班牙北部的阿爾塔米拉巖洞和法國南方的拉斯科巖洞里。巖洞墻壁上刻畫有許多野牛、長毛象和馴鹿等動物，它們是冰河時代人類用石頭或骨頭工具完成的。而在我國大西北，寧夏回族自治區中衛市的黃河北岸，方圓400多平方千米的大麥地巖洞里，也有一萬多幅史前巖畫，大多屬于舊石器晚期到新石器時代。
學者們猜測，那些原始狩獵者認為，只要他們畫了狩獵圖，用長矛或石斧痛打一番，真正的野獸便會束手就擒。顯而易見，數學和藝術都源于人類生存的需要。那么它們在歷史的長河里是如何發展、相遇而又碰撞的呢？這是本書想要探討的。
正如代數與時間藝術——音樂有著較為密切的關系，空間藝術——繪畫也與幾何相互作用。不同時期的繪畫與幾何之間，又存在著不一樣的相互關系。例如，文藝復興藝術與歐氏幾何、畢加索的立體主義與非歐幾何、后現代主義藝術與分形幾何。
20世紀美國數學史家克萊因認為，“文藝復興是數學精神的復興”。文藝復興時期的意大利畫家達·芬奇也承認，“只有緊緊地依靠數學，才能穿透那琢磨不透的思想迷魂陣”。也正因為文藝復興打通了數學與藝術的界限，才使得接下來的17世紀成為“天才的世紀”，且有多位橫跨文理的巨人。以至于英國哲學家懷特海在列舉了諸多偉大發現之后感嘆道，“這個世紀可以說是時間不夠，沒法把天才人物的重大事件擺布開來”。
相比之下，音樂與數學的關系更為隱秘，但歷史卻更悠久，肇始于畢達哥拉斯。有一天他走過一家鐵匠鋪，聽到叮叮當當的聲音，經過研究，他發現了音程之間與數的關系，提出了“萬物皆數”的哲學論斷。而在18和19世紀，德國中部哈茨山南北兩側，兩座對稱的小城相繼誕生了“音樂之父”巴赫和“數學王子”高斯。前者被譽為“音樂家中的數學家”，后者的數學發現有著天籟般的音樂之美。而與巴赫同代的瑞士數學家歐拉則撰寫了《音樂新理論的嘗試》，提出了音網概念，如今仍應用于和聲學研究。
高斯是非歐幾何學三位發現者之一，另一位發現者、匈牙利數學家鮑耶生前籍籍無名，卻有一句話流傳后世：從虛無中，我開創了一個新的世界。非歐幾何學大大拓展了數學研究領域，它與歐氏幾何的最大區別在于公理體系中大膽采用了不同的平行公設。在黎曼幾何中，球面上的直線是大圓（圓心在球心），兩點間最短距離是過這兩點的大圓上的弧。例如，從上海飛紐約的最短航線不是經過太平洋，而是經過北冰洋。愛因斯坦的廣義相對論原理也在于此，引力源于時空彎曲，光沿著彎曲的弧線傳播。
鮑耶去世前四年，奧地利醫生弗洛伊德出生了，他后來創立了精神分析學，對現代主義藝術進行細致的剖析。《癔病研究》是作家們所謂自動寫作法的延伸，而《夢的解析》是一部劃時代意義的巨著，書中分析了夢的基本活動，認為夢是以扭曲的形式體驗到的被禁止的欲望，所有的玩笑都有認真的成分。弗洛伊德還給出了力比多和本我、自我、超我等概念，為潛意識學說奠定了基礎，堪稱人類認識自身的里程碑。
進入20世紀以來，抽象化成為數學和藝術的共性，以它們的兩個分支——拓撲學和抽象代數、超現實主義和表現主義為例，說明共性和個性的存在。拓撲學有著華麗的幾何外表，而抽象代數充斥著理性符號。在同時代的諸多現代主義藝術流派中，也有兩個風格特征頗為相似，那便是載歌載舞的超現實主義和含蓄內斂的表現主義。有趣的是，弗洛伊德遺產的繼承人、法國哲學家拉康不僅用語言學重新闡釋弗氏學說，還把拓撲學和集合論作為精神分析學優先研究的外部對象。
說到數學和藝術的關系這個主題，許多科學家和藝術家都做過不同程度的探討。他們更關注數學和藝術的外在形式，比如對稱之美（也有的在方法論上做過探究）。而對于從數學和藝術的發展歷程來揭示它們之間的相似性和本質屬性，似乎還沒有人做系統的闡釋。本書是這方面的一次嘗試。幸運的是，本人在數學和藝術兩方面都做了長時間的實踐和探索，有著第一手的經驗和認識，加以適當的提煉和總結，便寫成了這本小書，期待各方讀者的批評指正。
來源：《中國科學報》
