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案例頻道 1、問題的提出
精密儀器的運(yùn)動(dòng)單元一般均采用微型無刷永磁直流電機(jī)，電機(jī)尺寸以及安裝空間很小，對(duì)電機(jī)的控制精度要求較高，一般要求達(dá)到0.5%～0.1%，另外在某些應(yīng)用中對(duì)成本控制的要求較高。
通常直流電機(jī)的控制多采用速度/力矩負(fù)反饋閉環(huán)控制，可以做到高精度控制。但需要給電機(jī)安裝編碼器、力矩傳感器等器件進(jìn)行控制參數(shù)的測(cè)量，并設(shè)置控制電路進(jìn)行控制[1]，這種方案因?yàn)轶w積/成本原因?qū)軆x器電機(jī)的控制是不可行的。
近些年來，常采用電子穩(wěn)速電路對(duì)小型直流電機(jī)進(jìn)行控制，圖1是一種典型的電子穩(wěn)速電路。其中G1是調(diào)速管，G2是比較放大管，W是速度微調(diào)電阻。但它只是單純應(yīng)用電機(jī)的反相電動(dòng)勢(shì)負(fù)反饋原理進(jìn)行控制，其控制精度差，一般大于0.5%，并且超調(diào)大，過渡時(shí)間長(zhǎng)，不能滿足精密儀器的控制精度要求。
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圖1 典型的電子穩(wěn)速電路
2、電機(jī)數(shù)學(xué)模型分析
微型無刷永磁直流電機(jī)的等效電路如圖2所示。
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圖2 無刷永磁直流電機(jī)等效電路
其中：U為輸入電壓，ω為輸出角頻率，R為等效內(nèi)阻，L為等效感抗，I為電機(jī)電流，E為電樞反應(yīng)的反電勢(shì)，ML為負(fù)載擾動(dòng)力矩。
由電路原理可知：.gif){kind=small}
（1）
電樞反應(yīng)的反電勢(shì)E與ω的關(guān)系是：.gif){kind=small}
（2）
其中：ke為電勢(shì)系數(shù)，由電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定。
由剛體旋轉(zhuǎn)定律可寫出電機(jī)軸上的機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程：.gif){kind=small}
（3）
其中：M是電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩，并且存在.gif){kind=small}
，km為轉(zhuǎn)矩系數(shù)，J為慣性系數(shù)，由電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定。
當(dāng)電機(jī)空載時(shí)，.gif){kind=small}
，因此有： .gif){kind=small}
（4）
.gif){kind=small}
（5）
將（5）式代入（1）式，得：
（6）
對(duì)（6）式求Laplace變換，得：
（7）
（7）式就是無刷永磁直流電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)速與輸入電壓的傳遞函數(shù)，它是I型系統(tǒng)、二階系統(tǒng)。
令
，
則（7）式變形為：
（8）
其中：T為時(shí)間常數(shù)，ω0為自然頻率，ξ是阻尼比。
3、控制算法設(shè)計(jì)與求解
基于對(duì)無刷永磁直流電機(jī)數(shù)學(xué)模型的研究以及二階系統(tǒng)成熟的控制理論，采用最為成熟的PID控制算法對(duì)其進(jìn)行控制[2]，相應(yīng)的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖[3]如圖3所示。
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圖3 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖
則其系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：
（9）
此處
，并且
因此有：
（10）
對(duì)（10）化簡(jiǎn)并整理，得：
（11）
基于模型匹配的PID控制器參數(shù)設(shè)計(jì)方法，選擇閉環(huán)控制系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)為[4]： 
（12）
其中：σ3、σ2、σ1和σ0為閉環(huán)控制系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)；系數(shù)α為控制系統(tǒng)自由設(shè)計(jì)參數(shù)。通過α值的不同來平衡控制系統(tǒng)對(duì)指令響應(yīng)和擾動(dòng)抑制。根據(jù)模型跟蹤控制的ITAE規(guī)則，推薦閉環(huán)控制系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)系數(shù)
[4]。
根據(jù)（11）和（12）式，可以計(jì)算出：
（13）
解（13），得：
（14）
4、控制電路的實(shí)現(xiàn)
由于目前集成運(yùn)放的可靠性、穩(wěn)定性高，價(jià)格低廉，因此使用集成運(yùn)放來搭建控制電路是一種較好的選擇。圖4給出了使用集成運(yùn)放實(shí)現(xiàn)的PID控制電路。
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圖4 基于集成運(yùn)放的PID控制電路
由電路原理易知：
（15）
即： 
（16）
因此，在求得PID的參數(shù)后，就可以容易得出電路參數(shù)。
5、仿真試驗(yàn)
根據(jù)上述的閉環(huán)傳遞函數(shù)，在MATLAB下對(duì)被控系統(tǒng)進(jìn)行仿真，得到仿真結(jié)果如圖5所示。
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圖5：對(duì)被控系統(tǒng)進(jìn)行MATLAB仿真結(jié)果
由仿真結(jié)果可以看出：對(duì)于精密儀器中的微型無刷永磁直流電機(jī)采用PID控制，在控制精度、快速性、超調(diào)量各方面可以取得較好的效果。可以使電機(jī)穩(wěn)定、快速地調(diào)速。
6、小結(jié)
本文通過對(duì)精密儀器中的微型無刷永磁直流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型的分析，使用模型參數(shù)匹配的設(shè)計(jì)方法計(jì)算出基于PID控制的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了高精度和低成本的電機(jī)控制。
參考文獻(xiàn)
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作者簡(jiǎn)介：
賀吟涓（1989- ）
女，湖南省湘潭市人，清華大學(xué)精密儀器與機(jī)械學(xué)系本科2007級(jí)學(xué)生。
摘自《自動(dòng)化博覽》2011年第二期
北京市公安局海淀分局備案號(hào)：11010802023656號(hào)