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    （廈門(mén)大學(xué)信息與科學(xué)技術(shù)學(xué)院自動(dòng)化系，福建 廈門(mén) 361005周 奇
                             
    周奇（1982-）男，湖南長(zhǎng)沙人，現(xiàn)就職于廈門(mén)大學(xué)控制理論與控制工程研究所，主要研究方向?yàn)榉蔷€性反饋控制。

    摘要：針對(duì)帶有常量干擾和具有輸入飽和約束的直流電機(jī)模型，本文通過(guò)設(shè)計(jì)魯棒組合非線性反饋控制器，來(lái)提高電機(jī)速度控制的快速性和精確度。基本思想是在組合非線性反饋（Composite Nonlinear Feedback(CNF)）控制的基礎(chǔ)上加入干擾估計(jì)項(xiàng)和補(bǔ)償項(xiàng)，在消除系統(tǒng)由于干擾產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差的同時(shí)，保證了原組合非線性反饋控制響應(yīng)快速及超調(diào)小的瞬態(tài)性能。

    關(guān)鍵詞：干擾；補(bǔ)償；非線性；伺服電機(jī)；魯棒組合非線性反饋

    Abstract: To achieve fast and accurate set-point tracking of DC motor with constant disturbance and input saturation constraint, in this paper, we design a robust composite nonlinear feedback controller. The basic idea is to add disturbance estimation and compensation into the framework of the original CNF control to eliminate the steady-state bias due to disturbances, and therefore this system retains the fast transient performance of the original CNF control.

    Key words: Disturbance; Compensation; Nonlinear; Servo systems; Robust composite nonlinear feedback

    直流伺服電機(jī)廣泛用于各種工業(yè)，如機(jī)床，線圈絡(luò)筒機(jī)，真空鍍膜機(jī)和自動(dòng)焊接機(jī)等。常用的控制方法是PID控制，近年來(lái)，為了提高伺服電機(jī)的性能，出現(xiàn)了多種高級(jí)控制方法，例如：模糊控制[1]，魯棒控制[2-4]，和自適應(yīng)控制[5-7]等。

    本文采用文獻(xiàn)[8]中提出的魯棒組合非線性反饋控制方法對(duì)帶有常量干擾的直流伺服電機(jī)模型進(jìn)行控制。組合非線性反饋控制方法最早由Lin[9]提出，它的主要作用是提高具有輸入飽和約束的二階線性閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。在此基礎(chǔ)上，Chen[10]加入可測(cè)量的反饋?lái)?xiàng)，使其可以用于更一般的帶有飽和輸入的系統(tǒng)（不含外部干擾）。當(dāng)系統(tǒng)加入干擾的時(shí)候，組合非線性反饋控制器控制下的系統(tǒng)輸出不再漸近匹配參考輸入。實(shí)際上，伺服電機(jī)通常帶有干擾，例如摩擦和扭矩偏差所造成的外部干擾。針對(duì)該情況，在原有組合非線性反饋控制基礎(chǔ)上加入干擾估計(jì)項(xiàng)和干擾補(bǔ)償項(xiàng)，組成魯棒組合非線性反饋控制器[8]。

    本文首先介紹了魯棒組合非線性反饋控制方法的設(shè)計(jì)過(guò)程，然后介紹直流電機(jī)的電流模型，最后采用該控制方法設(shè)計(jì)直流電機(jī)速度控制的魯棒組合非線性反饋控制器。

    1 魯棒組合非線性反饋控制方法設(shè)計(jì)過(guò)程

    魯棒組合非線性反饋控制方法由Cheng和Peng[8]提出，為了文章的完整性，我們?cè)谶@一節(jié)中簡(jiǎn)單介紹魯棒組合非線性反饋控制方法。

    考慮帶有輸入飽和的系統(tǒng)，狀態(tài)方程如下：

    （1）

       分別表示系統(tǒng)狀態(tài)，

    控制輸入，可測(cè)輸出和受控輸出，以及系統(tǒng)外部干擾。A，B，

    C1，C2和E是系統(tǒng)常量矩陣。函數(shù)sat: R R表示飽和函數(shù)，定義如下：

    （2）

    umax是飽和函數(shù)的飽和值。系統(tǒng)滿足以下要求。

    ①（A，B）可鎮(zhèn)定。

    ②（A，C1）可觀測(cè)。

    ③（A，B，C2）可逆，s=0不是不變零點(diǎn)。

    ④ w是未知常量干擾。

    ⑤ h是y的子集。

      首先將常量干擾w當(dāng)作系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)變量
 
     （3）

    并假設(shè)w是未知的常量。系統(tǒng)(2)可擴(kuò)展為

    （4）

    而其中可觀測(cè)。至此，魯棒組合非線性反饋控制問(wèn)題便轉(zhuǎn)變成了一般組合非線性反饋控制問(wèn)題[10]，其控制器設(shè)計(jì)過(guò)程如下所述：首先設(shè)計(jì)帶有干擾補(bǔ)償項(xiàng)的線性反饋部分。

    （5）

    滿足 ① A+BF是漸近穩(wěn)定矩陣，② 閉環(huán)系統(tǒng)C2 (sI-A-BT)-1滿足期望的條件。筆者設(shè)計(jì)的一般是使其閉環(huán)極點(diǎn)中有一個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn)，滿足較小的阻尼比，從而加快閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)速度。

        （6）

    （7）

    然后設(shè)計(jì)非線性部分，給定正定對(duì)稱(chēng)矩陣，解拉普洛夫方程

    （8）

    當(dāng)（A+BF）為漸近穩(wěn)定矩陣時(shí)候，方程有解。接著，定義

     （9）

    （10）

    （11）

    從而非線性反饋部分可描述為：

    （12）

      其中P(r,h)是|h-r|的一個(gè)非正的函數(shù)，用來(lái)改變閉環(huán)系統(tǒng)阻尼比，減少和消除線性反饋部分造成的超調(diào)。

    綜合線性反饋和非線性反饋兩部分，魯棒組合非線性反饋控制器：

    （13）

      注釋?zhuān)何墨I(xiàn)[8]證明了如下結(jié)論：對(duì)任意，令為滿足以下條件：

       （14）

      的最大標(biāo)量。對(duì)于任意非正的函數(shù)p(r,h)，如果X。和 r 滿足
（15）
則組合非線性反饋控制器（13）和系統(tǒng)（1）構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，并且系統(tǒng)受控輸出能夠漸近跟蹤幅值為的階躍輸入。

                          

    2 直流電機(jī)魯棒非線性控制器設(shè)計(jì)

    2.1 直流電機(jī)模型

    根據(jù)直流電機(jī)模型的傳統(tǒng)定義，用下面的電氣方程和力學(xué)方程描述直流電機(jī)的動(dòng)態(tài)模型

    （16）

    （17）

    其中， 和分別是轉(zhuǎn)子繞組電感和電阻， 電樞電流， 扭轉(zhuǎn)力， 常量轉(zhuǎn)子慣量粘性摩擦系數(shù)軸旋轉(zhuǎn)速度輸入電壓。單位一致的時(shí)候， 。定義狀態(tài)向量，控制輸入和控制輸出，
   

    
    可以得出直流電機(jī)的空間狀態(tài)模型，

    （18）

      并在此基礎(chǔ)上考慮扭矩偏差和摩擦產(chǎn)生的常量干擾，式（18）變?yōu)?br />
    （19）

      其中 （20）

    直流電機(jī)的一組參數(shù)在表1中列出。假設(shè)輸入電壓限制在，直流電機(jī)的狀態(tài)空間方程變?yōu)?br />
    （21）

    其中 ，矩陣A，B，C和E分別由（20）給出。

    2.2 魯棒CNF控制器設(shè)計(jì)

      下面給出直流電機(jī)速度控制系統(tǒng)（21）的魯棒CNF控制器設(shè)計(jì)過(guò)程，首先線性反饋增益F為
 
   容易驗(yàn)證（A+BF）是穩(wěn)定的，并去閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼率為0.4472。因此，可以計(jì)算得到前饋增益


    所以魯棒CNF控制器線性反饋部分  

    非線性反饋部分為
    

      其中p.>0是方程
   
    的正定解， 。的選擇通常要滿足以下兩個(gè)要求：一方面，當(dāng)控制輸出遠(yuǎn)離設(shè)定值的時(shí)候，即的值很大， 選擇較小的值，非線性反饋部分作用相應(yīng)就變小。另一方面，當(dāng)控制輸出接近設(shè)定值的時(shí)候，即的值很小時(shí)， 的值應(yīng)相應(yīng)變大，從而加大非線性反饋部分對(duì)系統(tǒng)的影響。因此， 的選擇不是唯一的。在本文中選擇下面的函數(shù)

      （22）

    設(shè)定，得到。
確定F，G和P后，采用[11]中介紹的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法得到α=27和  β =7，
則從而我們可得到魯棒非線性反饋控制器

        
            
               （23）
其中         

                      
                                                （a）控制輸入
                       
                                                （b）受控輸出
                   圖1  當(dāng)參考輸入r=100rad/s干擾w=250N*m的時(shí)候，系統(tǒng)控制輸入和受控輸出軌跡
                       
                                                        （a）控制輸入  

                         
 
                                                      （b）受控輸出
                    圖2  當(dāng)參考輸入r=100rad/s干擾w=250N*m和w=1500N*m的時(shí)候，系
                                    統(tǒng)控制輸入和受控輸出軌跡
 
    仿真結(jié)果如圖1和圖2所示：當(dāng)系統(tǒng)存在誤差扭矩干擾的時(shí)候，傳統(tǒng)反饋控制方法和一般組合非線性反饋控制方法都不能使輸出控制達(dá)到預(yù)定的跟蹤效果。但從圖1（a）中，我們可以得出在系統(tǒng)常量干擾為250N*m的情況下，普通的線性反饋控制和CNF控制都產(chǎn)生了穩(wěn)態(tài)誤差。而魯棒組合非線性反饋控制使得控制輸出很好的跟蹤參考輸入，同時(shí)系統(tǒng)的上升時(shí)間為9.3Ms，超調(diào)為0.001%，控制輸出能取得較為理想的跟蹤效果。圖2表明魯棒組合非線性反饋控制在常量干擾為250N*m系統(tǒng)輸出的上升時(shí)間為9.3Ms，超調(diào)為0.001%，當(dāng)常量干擾為1500N*m的時(shí)候，系統(tǒng)輸出的上升時(shí)間為7.5Ms，超調(diào)為0.3%，都表現(xiàn)出很優(yōu)越的控制性能。

    3 結(jié)論

    魯棒組合非線性反饋控制在原有的組合非線性反饋基礎(chǔ)上加入干擾估計(jì)和干擾補(bǔ)償，不僅保留了原有控制方法的優(yōu)點(diǎn)，還可以用于帶有干擾的系統(tǒng)。利用該方法控制輸入飽和系統(tǒng)，使得系統(tǒng)有更好的穩(wěn)態(tài)性能和跟蹤性能。仿真和試驗(yàn)結(jié)果都表明利用魯棒組合非線性反饋控制可以快速，準(zhǔn)確解決伺服系統(tǒng)控制問(wèn)題。

    因此用該方法控制帶有輸入飽和約束的系統(tǒng)可以大大提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能和跟蹤性能。

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     摘自《自動(dòng)化博覽》2010年第五期