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張隆閣 （1979 -）

男，碩士，講師，研究方向為分數階微積分在控制中的應用。

基金項目：華北電力大學青年基金(200611001)

摘要：針對一類參數未知的混沌系統，基于分數階微積分和Lyapunov穩定性理論，設計出了一族分數階廣義同步控制器，此族控制器可通過選擇不同分數階次得到不同的控制效果，并且都能保證閉環混沌系統達到漸近廣義同步. 數值試驗驗證了此方法的有效性。

關鍵詞：廣義混沌同步；分數階微積分；Lyapunov穩定性

Abstract: Based on fractional calculus and Lyapunov stability theory, a sort of 
fractional generalized synchronization is designed for a class of chaostic systems.
 Different control effect and the stability of the closed chaotic system can be obtained
 by selecting different fractional order. Numerical simulations show the effectiveness of
 the method.

Key words: Generalized chaotic synchronization; fractional calculus; Lyapunov stability

1 引言

    混沌現象是自然界中廣泛存在的一種非線性現象，混沌系統對初值極其敏感，從而導致了其類隨機特性。自從L.M. Pecora和T.L.Larrol于1990年提出混沌系統的驅動-響應同步方法以來 ^[1] ，由于混沌同步在通信保密和震蕩發生器的設計等方面的成功應用，越來越多的受到學者們的重視，成為混沌和控制領域的研究熱點 ^[2-5] ，常用的有反饋同步、自適應同步、脈沖同步、耦合互同步等方法。另一方面，分數階微積分已較好的應用于控制和信號處理等領域中 ^[6-7] 。本文基于Lyapunov穩定性理論，設計出了分數階廣義同步控制器，并以chen系統的分數階廣義同步為例，驗證了此方法的有效性。

2 分數階微積分的定義

    分數階微積分有多種定義方式 ^[8] 。Caputo定義有傳統的易于物理上解釋和實現的初始條件，并且對常數的分數階微分為0。所以在控制問題研究中應用較多的是Caputo定義。本文采用Caputo定義。

    定義1分數階積分：一元函數的階積分定義為^[8]：
                                       （1）            

    其中，分別為積分的下界和上界，為被積函數，為積分次數，為歐拉伽馬函數。

    定義2分數階微分：一元函數的階維微分定義為 ^[8]：
                             （2）
    其中。

3 問題描述及同步控制器的設計

    考察兩個動力學系統     
                                                                   （3）
                                                               （4）

    (3)為驅動系統，(4)為響應系統。其中分別為兩系統的狀態向量。，，為未知的參數向量，為未知參數向量的估計值，為廣義同步控制器。設為一常數，當和滿足
                                                                 （5）

    時，稱系統(3)和(4)廣義同步。令，將(3)和(4)代入(6)，可得
                                        （6）

    假設未知參數是分數階的時變量，并且假設有最簡單的分數階模型。構造積分型Lyapunov函數，對Lyapunov函數求導，則有
                                             （7）

    將（6）式代入（7）式，且取廣義同步控制器和參數自適應率時，，由推廣的分數階Lyapunov理論^[9] 知，所得閉環系統是穩定的。

4 chen系統的廣義同步

    Chen混沌系統的模型
                                                            （8）

    其中，是系統的狀態向量，而是待估計的未知常數。當時，系統(8)產生混沌現象，存在混沌吸引子。將(8)式化為(3)式的形式
                                                                    （9）

    其中，，
    ，為未知參數，式(9)為驅動系統。響應系統可以表示為，其中是系統的狀態向量，，，為的估計值，為廣義控制器。由上一小節討論可知，當參數自適應律和控制律分別為和時，能實現系統的廣義同步。此時有
    和
   

    在仿真中，取，參數的估計初始值為，分數階次為0.95時，可使主從系統實現同步，其仿真結果見圖1。

5 結論

    本文研究了一類參數不確定的混沌系統的分數階廣義同步。基于分數階的Lyapunov穩定性理論，證明了此種方法設計出的同步控制器是全局穩定的，并且可以根據未知參數分數階次的選擇，得到不同的控制效果。最后以chen系統為例驗證了此方法的有效性。

                              (a) generalized synchronization errors of

                              (b) generalized synchronization errors of  

                              (c) generalized synchronization errors of  

                                     圖1   廣義同步誤差曲線


參考文獻

[1]  Pecora L M，Carroll T L.Synchronization in chaotic systems[J]. Phys. Rev. Lett.，1990，64(8):821~824.

[2]  Chen G，Dong X. From chaos to order: Methodologies, Perspectives and Applications[M]. Singapore: World Scientific，1998.

[3]  Agiza H N，Yassen M T. Synchronization of R sssler and Chen chaotic dynamical 
systems using active control[J]. Phys.Lett.A，2001，278(4): 191~197.

[4]  Batajas-Ramrez J G，Chen G，Shieh L S. Hybrid chaos synchronization[J]. Int. J. of Bifurcation and Chaos，2003，13(5):1197~1216.

[5]  Xiao Jiang-wen，Yu Yi. Coupled adaptive synchronization for Chen chaotic 
systems with different. parameters[J]. Chaos，Solitons and Fractals，2007，33(3): 908~913.

[6]  Podlubny I.Fractional-order systems and PI -controllers. IEEE Transactions on 
Automatic Control[J]. 1999，44(1)，208-214.

[7]  Vinager B M, Petrá? Iand Podlubny I. Using fractional order adjustment rules and 
fractional order reference models in model-reference adaptive control[J]. Nonlinear 
Dynamics 2002，29:269-279.

[8]  Podlubny I .Fractional Differential Equations[M]. San Diego，CA: Academic Press，1999.

[9]  張隆閣，李俊民，陳國培. 利用分數維微積分推廣Lyapunov第二方法[J]. 純粹數學與應用數學.2005，21(3): 291-294.