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高天國 （1963-）
男，畢業(yè)于哈爾濱工業(yè)大學(xué)精密儀器系，主要從事新產(chǎn)品開發(fā)與設(shè)計工作。
摘要：本文介紹了一種新型串并聯(lián)機床LINKS-EXE700的結(jié)構(gòu)(Tripod機構(gòu))，該型機床具有更大的工作空間，更好的剛度性能。并對Tripod機構(gòu)自由度進行了理論分析，給出了工作空間的求解流程圖，通過實例表明該型機床的工作空間較大，具有很好的應(yīng)用前景。
關(guān)鍵詞：串并聯(lián)機床；自由度；工作空間
Abstract: This paper introduces the tripod system of the LINKSEXE 700 SerialParallel
Kinematic Machine with more workspace and higher rigidity construction, and gives a
theoretical analysis on the degree of freedom (DOF) of the tripod system and a solution
flow chart for the workspace. The operating example shows that the SerialParallel
Kinematic Machine has a large workspace and bright future in commercial applications.
Key words: serial－parallel machine tool; degree of freedom; workspace
1 引言
串并聯(lián)機床屬于新型虛擬軸機床，它是將并聯(lián)機構(gòu)和串聯(lián)機構(gòu)進行合理的結(jié)合而成，是近年來世界上逐漸興起的一種新型結(jié)構(gòu)機床［1,2］。哈爾濱量具刃具集團有限責任公司應(yīng)用于瑞典艾克斯康（Exechon）公司最新技術(shù)（并聯(lián)機構(gòu)Tripod）合作推出了一種全新結(jié)構(gòu)的機床LINKS-EXE700（以并聯(lián)機構(gòu)Tripod機構(gòu)為核心開發(fā)的加工中心命名為LINKS-EXE700），該機床是一種典型的串并聯(lián)機床。它綜合了串聯(lián)機床和并聯(lián)機床的優(yōu)點，克服了兩者的不足之處，它具有：剛度高、承載能力強、機構(gòu)靈活度高、動態(tài)性能好、響應(yīng)速度快、工作空間范圍大、重量輕、模塊化程度高、技術(shù)附加值高和結(jié)構(gòu)簡單等很多突出的特點［3,4,5］。并引起了業(yè)內(nèi)外人士的極大興趣和廣泛關(guān)注。這是一項立足于中國制造，運用國際先進技術(shù)資源，面向全球市場的最新一代串并聯(lián)機床，也是近年來我國在國際機床領(lǐng)域的一項重大突破。
2 LINKS-EXE700機床結(jié)構(gòu)
圖1為LINKS-EXE700型串并聯(lián)加工中心，該型加工中心的并聯(lián)部分分別由兩路TPR(虎克鉸-移動副-轉(zhuǎn)動副)支路和一路SPR(球鉸-移動副-轉(zhuǎn)動副)支路連接上方的定平臺和下方的運動平臺。在下平臺的中部安裝一串聯(lián)機構(gòu)，兩關(guān)節(jié)皆為轉(zhuǎn)動副。
3 Tripod機構(gòu)的自由度分析
Tripod機構(gòu)的簡圖如圖2所示。該機構(gòu)包括并聯(lián)部分和串聯(lián)部分，并聯(lián)部分由定平臺和動平臺以及三個分支組成，其中有兩個分支的一端與定平臺用兩自由度虎克鉸連接，另一個分支的一端與定平臺用三自由度虎克鉸連接，三個分支的另一端分別與動平臺用轉(zhuǎn)動副連接，虎克鉸與轉(zhuǎn)動副之間是移動副；串聯(lián)部分由兩個軸線互相垂直的轉(zhuǎn)動副組成。
在三維空間中，每個完全不受約束的剛體或構(gòu)件有六個自由度，則 個剛體相對其中一個參照物共有6( -1)個自由度。當所有的剛體間用 個具有 自由度的運動副聯(lián)接起來時，該機構(gòu)的自由度為：
(1)式中 F—機構(gòu)的自由度；
n—構(gòu)件數(shù)；
g—運動副數(shù)；
fi—第i個運動副的相對自由度數(shù)。
這就是著名的Kutzbach Grubler公式。
對于Tripod機構(gòu)的并聯(lián)部分n=8、g=9，則由式(1)計算得到并聯(lián)部分的自由度 。而實際情況是機構(gòu)并聯(lián)部分的自由度是3，公式(1)失效。
為了求出機構(gòu)并聯(lián)部分的自由度，本文采取了一種簡單可行的方法，即按照機構(gòu)的組合過程一步一步地進行分析。并聯(lián)部分的組合過程如圖3所示。
如圖3所示，當形成第一步的機構(gòu)時，可以采用求平面機構(gòu)自由度的公式求解，此時有5個活動構(gòu)件，6個低副，代入公式算得的自由度為3；由第一步到第二步多了兩個轉(zhuǎn)動副，變成了空間機構(gòu)，由于兩個轉(zhuǎn)動副的軸線重合，所以只引入了一個轉(zhuǎn)動自由度，此時機構(gòu)的自由度變成了4；由第二步到第三步多了兩個購件，一個移動副、一個轉(zhuǎn)動副和一個三自由度虎克鉸，兩個不受任何約束的構(gòu)件有12個自由度，移動副和轉(zhuǎn)動副各約束掉5個自由度，虎克鉸約束掉3個自由度，因此這一步引入的自由度為-1，整個并聯(lián)部分的自由度變成了3。
顯然，串聯(lián)部分具有兩個自由度。因此，Tripod機構(gòu)是一個具有五個自由度的串并聯(lián)機構(gòu)。
4 Tripod機構(gòu)的工作空間分析
工作空間是指機床正常工作時，末端執(zhí)行器在空間活動的最大范圍。工作空間從幾何方面描述機床的工作能力，是并聯(lián)機床性能的重要指標和進行機構(gòu)設(shè)計、運動規(guī)劃的重要依據(jù)。工作空間研究的基本問題是給出某一結(jié)構(gòu)形式和結(jié)構(gòu)參數(shù)的機床，求其工作空間的大小和形狀。對于本文的機構(gòu)，其工作空間的大小主要由運動平臺的運動空間決定，因此，本文主要分析運動平臺的可達空間。
考慮到并聯(lián)機構(gòu)位置逆解容易、正解難的特點，根據(jù)機構(gòu)的位置反解方程，可采用快速極坐標搜索法進行工作空間邊界的搜索，然后根據(jù)工作空間邊界計算工作空間的體積。
4.1 機構(gòu)工作空間的邊界搜索
對于Stewart平臺機構(gòu)以及由其演化而來的其它并聯(lián)機構(gòu)的工作空間主要受以下幾個方面的限制[6] ：
(1) 各驅(qū)動桿長度的限制：并聯(lián)機構(gòu)各驅(qū)動桿的長度變化范圍是有限的，這里用
和
來表示第
桿的最大值和最小值，則桿長的約束可以用下式來表示
(2)當某一桿長達到極限時，運動平臺上的給定的參考點也就到達了工作空間的邊界。
(2) 運動副轉(zhuǎn)角的限制：連接上下平臺與各驅(qū)動桿的球鉸、虎克鉸以及轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)角范圍都要受到結(jié)構(gòu)的限制，因此，在對機構(gòu)進行工作空間分析時，必須考慮運動副的最大轉(zhuǎn)角
。運動副的轉(zhuǎn)角
是由與運動副的基座固結(jié)的坐標系的Z軸和表示與運動副連接的桿的向量來確定的。如圖4所示，li表示沿驅(qū)動桿方向的向量，nRi和nTi分別表示與各運動副的基座固結(jié)的坐標系Z軸方向的單位矢量。這樣，運動副的轉(zhuǎn)角約束條件可以用下式來表示
(3)
(4)式中，
和
分別是球鉸和虎克鉸的最大轉(zhuǎn)角。3) 桿間的相互干涉：因為連接上下平臺的連桿是有一定的尺寸大小的，因此，各桿之間有可能發(fā)生干涉。為了討論方便，這里假設(shè)各桿都是圓柱形的，其直徑為D，若Di為兩相鄰桿中心線之間的最短距離，那么，兩桿不發(fā)生干涉的條件為：
(5)由于Tripod機構(gòu)并聯(lián)部分只有三個驅(qū)動桿，桿間發(fā)生干涉的可能性很小，所以進行工作空間搜索時只需考慮桿長限制和運動副轉(zhuǎn)角限制兩個約束條件即可。工作空間搜索步驟如下：
（1）給定機構(gòu)基本結(jié)構(gòu)參數(shù)，最大桿長
、最小桿長
、運動副最大轉(zhuǎn)角
、
。（2）令
從
開始以一定步長
增長，在
平面內(nèi)，使用極坐標表示
、
，則
，
。
為搜索極徑， 
為極徑與x軸正向的夾角，且設(shè)逆時針方向為正。（3）給定一個
值后，令
從0以步長
遞增，直至機構(gòu)的各桿長及運動副的轉(zhuǎn)角超出所約束的極限值，輸出
、
、
。此點即為
平面內(nèi)， 
方向上工作空間的邊界點。（4）令
，重復(fù)步驟(3)，直至搜索出
平面內(nèi)所有邊界點。
的取值范圍為 0°~360°。（5）令
直至 
，當確定一個 
值后，重復(fù)(3)、(4)步，這樣就可確定出機構(gòu)的整個工作空間邊界。工作空間搜索流程如圖5所示。
4.2 機構(gòu)工作空間體積的計算
工作空間的大小通常用其體積V的值來定量衡量。由于其工作空間是不規(guī)則的幾何形體，所以其體積無法用解析法精確的求得，只能通過數(shù)值方法來近似逼近。基本的思想是：先將工作空間用平行于XY平面的平面分割成若干厚度為
的微分子空間，若
足夠小，則這些子空間可近似看作高度為
的柱體，將這些微分子空間的體積累加起來就近似等于機構(gòu)工作空間的體積。每個微分子空間底面邊界上的任意一點P都可用極坐標來表示，則
，
。如圖6所示，設(shè)
是微分子空間底面邊界上的起始點，然后給極角△一增量
后，得到下一邊界點
，如此進行下去，便可確定出此微分子空間底面的所有邊界點，依據(jù)這些邊界點可將微分子空間底面分成若干夾角為
的形如扇形的微分子區(qū)域，若
足夠小，則每個微分子區(qū)域的面積
可借助扇形公式近似求得，即
( 
) (6) 這樣每個微分子空間的體積
可借助柱體的體積公式求得，即
( 
) (7)于是機構(gòu)工作空間的體積V可近似求得，即
( 
) (8)
由以上分析可知機構(gòu)的工作空間體積的計算精確度與增量
的大小有關(guān)，增量越小，計算結(jié)果越精確。但隨著增量
的減小，計算量將成倍的增加，因此，確定增量
的取值大小時，應(yīng)考慮實際情況，適當選取。以LINKS-EXE700為例，其結(jié)構(gòu)參數(shù)及運算過程中的搜索變量如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
經(jīng)過運算，并利用MATLAB的圖形功能描繪出的機構(gòu)工作空間的輪廓如圖7所示。
圖7是工作空間的三維立體圖和工作空間在XY平面上的投影圖。同時，經(jīng)過運算得出機構(gòu)的工作空間可達1431×109 mm3，查閱有關(guān)參考文獻可知，一般并聯(lián)機床的工作空間遠不及這個數(shù)值，如文獻[7]中的并聯(lián)機床的工作空間的體積為 0.607×109 mm3，這說明Tripod機構(gòu)具有較大的工作空間。
5 小結(jié)
本文介紹了LINKS-EXE700型串并聯(lián)加工中心的構(gòu)型及特點，并根據(jù)機構(gòu)的組合過程分析了機構(gòu)的自由度，對LINKS-EXE700型串并聯(lián)加工中心工作空間的搜索算法進行了研究，并計算了工作空間的大小，總結(jié)了LINKS-EXE700型串并聯(lián)加工中心相對于其他并聯(lián)機構(gòu)具有更大工作空間的原因。
參考文獻
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北京市公安局海淀分局備案號：11010802023656號