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    李理（1980－）
男，（廈門大學(xué)自動(dòng)化系，福建  廈門  361005），廈門大學(xué)自動(dòng)化系碩士研究生，研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)。

摘要：基于網(wǎng)絡(luò)的反饋連接系統(tǒng)（NBFIs）是一種新型的基于網(wǎng)絡(luò)連接的系統(tǒng)模型。本文主要研究帶有擾動(dòng)輸入的網(wǎng)絡(luò)丟包問題，即系統(tǒng)在滿足一定數(shù)據(jù)丟包率和一定H  性能指標(biāo)的條件下具有的狀態(tài)反饋控制問題。首先把網(wǎng)絡(luò)看作一個(gè)開關(guān)，將帶有丟包的NBFI系統(tǒng)建模為帶有結(jié)構(gòu)事件率約束的異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（ADSs）；其次運(yùn)用平均駐留時(shí)間方法與H  控制理論，推導(dǎo)出由ADS系統(tǒng)進(jìn)一步建模成的切換系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定同時(shí)滿足一定H  性能指標(biāo)的充分條件；最后以數(shù)值例子仿真驗(yàn)證結(jié)論的有效性。

關(guān)鍵詞：網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)；基于網(wǎng)絡(luò)的反饋連接；平均駐留時(shí)間；異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)；H  性能

Abstract:  NBFI is a new kind of network-based model. For the network-induced packet dropout, an average dwell time method is used to analyze the Network-based H  Control of NBFIs. First of all, the NBFI with data packet dropout is modeled as an asynchronous dynamical system with rate constraints on events. Then, by using the average dwell time method and applying H  control theories, a sufficient condition of the NBFI stability with H  performance bound is obtained. Finally, a simulation example is given to illustrate the effectiveness of the proposed approach.

Key words: networked control system；network-based feedback interconnection；average dwell time；asynchronous dynamical system；H  performance

1 引言

    隨著網(wǎng)絡(luò)在社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，許多專家學(xué)者也開始關(guān)注和研究基于網(wǎng)絡(luò)連接的系統(tǒng)，而通過實(shí)時(shí)網(wǎng)絡(luò)連接形成的閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)稱為網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（如圖1）（networked control systems，NCSs）^[1][2]。它的主要特點(diǎn)是系統(tǒng)的各個(gè)器件(傳感器、控制器、執(zhí)行器等)是通過實(shí)時(shí)網(wǎng)絡(luò)來進(jìn)行數(shù)據(jù)信息交換的。網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)相對(duì)于傳統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)控制類系統(tǒng)，具有輕便，易操作、維修，有較高的靈活性、可靠性等優(yōu)點(diǎn)。因此網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)在航空航天，制造業(yè)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。然而，因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)的存在也為控制系統(tǒng)帶來相應(yīng)的問題：信息的傳輸延遲[1][3]  ；受網(wǎng)絡(luò)帶寬和數(shù)據(jù)包容量的限制，須采用多通道傳輸?shù)萚1][4] ；由于網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)牟豢煽啃裕W(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)發(fā)生數(shù)據(jù)包丟失現(xiàn)象。

    在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，當(dāng)節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)故障或發(fā)生信息傳送碰撞時(shí)，就可能出現(xiàn)丟失網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)包的現(xiàn)象。雖然大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)具有重新傳輸機(jī)制，但它們也只能在一個(gè)有限的時(shí)間內(nèi)傳輸，當(dāng)超過這個(gè)時(shí)間后，數(shù)據(jù)也會(huì)隨之丟失。文[1][5][6][7]把數(shù)據(jù)包丟失的NCS系統(tǒng)建模為具有事件率約束的異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(ADSs)，并研究了此異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。文[8][9][10]介紹了最大允許傳輸間隔（MATI）這個(gè)概念，它是指如果網(wǎng)絡(luò)發(fā)生丟包，則兩次成功傳輸?shù)臅r(shí)間間隔不大于MATI。文[11][12][13][14][15]把帶有丟包的NCS系統(tǒng)建模為一個(gè)切換系統(tǒng)，在此基礎(chǔ)上分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如，文[14]針對(duì)網(wǎng)絡(luò)丟包現(xiàn)象，設(shè)計(jì)出新的控制器并運(yùn)用切換系統(tǒng)的平均駐留時(shí)間方法研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性；文[15]針對(duì)網(wǎng)絡(luò)丟包現(xiàn)象提出一個(gè)特殊的不確定切換系統(tǒng)模型，并研究了該模型的魯棒反饋控制問題。有時(shí)，所研究的NCS 系統(tǒng)帶有不確定參數(shù)[12][15][17]。如，文[17]針對(duì)不確定NCS系統(tǒng)，設(shè)計(jì)出魯棒反饋控制器H 解決網(wǎng)絡(luò)丟包問題。有時(shí)，網(wǎng)絡(luò)延遲和網(wǎng)絡(luò)丟包是被同時(shí)考慮的[7][11][12][16][17]。如，文[7][16]利用Lyapunov方法推導(dǎo)出帶有延遲和丟包現(xiàn)象的NCS系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。

    文[19]提出了一種新型的反饋連接系統(tǒng)（如圖2），它是將傳統(tǒng)的反饋連接通過網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)，因此也可將其看作是基于網(wǎng)絡(luò)的反饋連接（Network-Based Feedback Interconnection，NBFI）。同時(shí)它也可看作是NCS系統(tǒng)的擴(kuò)展模式，NCS系統(tǒng)是通過網(wǎng)絡(luò)使被控對(duì)象和控制器相連接，形成一個(gè)閉環(huán)反饋系統(tǒng)。而NBFI系統(tǒng)是兩個(gè)被控對(duì)象通過網(wǎng)絡(luò)連接形成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)。因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)的存在，NBFI系統(tǒng)也會(huì)出現(xiàn)延遲或丟包等現(xiàn)象。文[19]利用耗散性理論研究了NBFI系統(tǒng)的丟包問題，但是它僅僅針對(duì)每個(gè)被控對(duì)象都是離散系統(tǒng)的情況，而每個(gè)被控對(duì)象為連續(xù)系統(tǒng)的情形沒有考慮。

    受文[19]的啟發(fā)，本文研究了由連續(xù)對(duì)象通過網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)而成的NBFI系統(tǒng)。應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)發(fā)生丟包時(shí)數(shù)據(jù)傳輸為零這一特性，把系統(tǒng)建模為一個(gè)帶有事件率約束的異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。分析開關(guān)斷開或閉合時(shí)系統(tǒng)運(yùn)行的各個(gè)狀態(tài)，把這個(gè)異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)一步建模為帶有四個(gè)子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)。以此為基礎(chǔ)，研究了該種類模型滿足H  性能指標(biāo)的反饋控制問題，通過引入一個(gè)新的切換策略，即運(yùn)用切換系統(tǒng)的平均駐留時(shí)間方法，使得系統(tǒng)在滿足小于一定的丟包率的條件下，對(duì)于每一個(gè)具有平均駐留時(shí)間的系統(tǒng)狀態(tài)都能夠保證系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定，同時(shí)又可使系統(tǒng)滿足一定的H 性能指標(biāo)的要求。

    在文章的第二部分將會(huì)描述NBFI系統(tǒng)，并給出網(wǎng)絡(luò)正常傳輸和非正常傳輸時(shí)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。第三部分將分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性同時(shí)使系統(tǒng)滿足一定H 性能指標(biāo)的要求。第四部分給出一個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證本文方法的有效性。

圖1   典型網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)



圖2   基于網(wǎng)絡(luò)的反饋連接系統(tǒng)



圖3   帶有丟包的NBFI系統(tǒng)

2 系統(tǒng)分析與建模

    把圖2所示的帶有擾動(dòng)輸入的NBFI系統(tǒng)。

    假設(shè)系統(tǒng)滿足如下條件：

    假設(shè)1  網(wǎng)絡(luò)傳輸正常情況下，系統(tǒng)近似看作為帶有擾動(dòng)的無時(shí)滯連續(xù)線性系統(tǒng)。

    假設(shè)2  網(wǎng)絡(luò)采用單包傳輸模式，左右網(wǎng)絡(luò)發(fā)生數(shù)據(jù)包發(fā)丟失情況不確定。

    假設(shè)3  丟包總的發(fā)生時(shí)刻在整個(gè)系統(tǒng)時(shí)間定義域內(nèi)小于或等于一定比率。

    假設(shè)4  系統(tǒng)中僅有一個(gè)被控對(duì)象受外界擾動(dòng)信號(hào)干擾。

    則系統(tǒng)可建模為一個(gè)連續(xù)的常規(guī)反饋連接系統(tǒng)：

             （1）

    其中狀態(tài)為被控對(duì)象1的輸入，為被控對(duì)象1的擾動(dòng)輸入，為被控對(duì)象1的輸出，為被控對(duì)象1的受控輸出，為被控對(duì)象2的輸入，為被控對(duì)象2的輸出，A₁，A₂′，B₁，B₂，B₁′，C1，C2，D是具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。

    當(dāng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)生數(shù)據(jù)包丟失時(shí)，網(wǎng)絡(luò)可以視為按一定速率開合的開關(guān)[1][5][6]。帶有數(shù)據(jù)包丟失的NBFI系統(tǒng)描述如圖3所示 ：右網(wǎng)絡(luò)視為開關(guān)S1，左網(wǎng)絡(luò)視為開關(guān)S2，當(dāng)左右開關(guān)同時(shí)閉合時(shí)（S1 S2），網(wǎng)絡(luò)正常傳輸即系統(tǒng)不發(fā)生丟包現(xiàn)象；當(dāng)左右開關(guān)同時(shí)打開（）或只有一個(gè)開關(guān)打開而另一個(gè)開關(guān)閉合（S1，S2）時(shí)，網(wǎng)絡(luò)非正常傳輸即系統(tǒng)發(fā)生丟包現(xiàn)象。下面列寫系統(tǒng)在這四種情況下運(yùn)行的狀態(tài)方程：

    情況一（S1 S2）： 

   

    令，則

     。   （2）

    情況二（）： 

    。    （3）

    情況三（S2）：

    。   （4）

    情況四（S1）：

    。   （5）

    可以把系統(tǒng)在這四種情況下的運(yùn)行視作系統(tǒng)在四個(gè)子系統(tǒng)間的切換，則

    ,       （6）

    其中狀態(tài)為切換信號(hào)，它是一個(gè)依賴于時(shí)間t或狀態(tài)x的分段右連續(xù)常值函數(shù)，是具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。

    定義1[7]  對(duì)應(yīng)于異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)四種狀態(tài)事件出現(xiàn)的比率，稱為結(jié)構(gòu)事件率。

    用分別表示每一狀態(tài)的結(jié)構(gòu)事件率，。顯然r滿足

    。

    因此當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中數(shù)據(jù)包丟失率一定時(shí)，由異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)一步建模成的切換系統(tǒng)同樣受到結(jié)構(gòu)事件率r_i的約束。

3 主要結(jié)果

    對(duì)，引入符號(hào),分別表示在時(shí)間內(nèi)網(wǎng)絡(luò)正常傳輸與非正常傳輸（網(wǎng)絡(luò)丟包）的時(shí)間長(zhǎng)度。

    定義2 [15]  對(duì)， 如果存在0<P<1，使得下面不等式

    ,      （7）

    成立，則稱p為系統(tǒng)在時(shí)間上的最大丟包率。

    因?yàn)?IMG style="border:1px solid #000" src="/uploads/images/cases/2008/6/1214616948.jpg" align=middle >，所以從上面的定義中，我們可以得到

    ,      （8）

    這里。

    定義3 [18]  對(duì)切換信號(hào)，用表示在時(shí)間段上切換的次數(shù)。如果存在數(shù)使得對(duì)任何的都有

     （9）

    成立，那么稱正數(shù)為平均駐留時(shí)間。

    注１：平均駐留時(shí)間的提出是為了限定切換系統(tǒng)中任意兩次切換的時(shí)間間隔，因此滿足平均駐留時(shí)間就是指系統(tǒng)在一段時(shí)間內(nèi)的任意兩次切換的時(shí)間間隔不小于一個(gè)時(shí)間值，以避免因切換過快而導(dǎo)致的系統(tǒng)不穩(wěn)定。

    定理1  若存在正定對(duì)稱矩陣和正數(shù)，使得下列矩陣不等式 

    ,       （10）

    , （11）

      （12）

    成立。如果最大丟包率滿足

         （13）

    并且在滿足平均駐留時(shí)間

           （14）

    的切換律下,系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的，且是具有H∞性能指標(biāo)。這里

   

    證明：

    1） 當(dāng)外部擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)（6）的漸近穩(wěn)定性。

　　定義分段Lyapunov函數(shù)

          （15）

    其中Pi為滿足式（10）、式（11）、和式（12）的正定對(duì)稱矩陣。

    則由式（12）得

    。  （16）

    對(duì)于式（15），存在兩個(gè)正數(shù)a和使得b

               （17）

    其中。

    當(dāng)切換到第i個(gè)子系統(tǒng)時(shí)，沿著相應(yīng)的子系統(tǒng)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

            （18）

    由式（10）、（11）、（18），得

　     （19）

    （20）

    定義為系統(tǒng)對(duì)切換信號(hào)在t時(shí)刻狀態(tài)下滿足式（19）、式（20）的或值。則對(duì)，令表示系統(tǒng)在時(shí)間段(0,t)上的切換點(diǎn)，由式（16）、式（17）和式（20）可得

    （21）

    如果滿足條件（14），即對(duì)，

   
    成立，則

           （22）

    把式（7）、（8）、（22）代入式（21），可得

        （23）

    由式（13）、（23），根據(jù)歐式范數(shù)的定義有

   

    所以系統(tǒng)（6）在滿足平均駐留時(shí)間（14）的切換律下是指數(shù)穩(wěn)定的，且指數(shù)衰減率。

   

    注２：當(dāng)時(shí),Pi=Pj，，則系統(tǒng)在滿足條件時(shí)，系統(tǒng)在任意切換下是全局漸近穩(wěn)定。

    2） 系統(tǒng)滿足H∞性能指標(biāo)的穩(wěn)定性。

    網(wǎng)絡(luò)持續(xù)丟包和正常傳輸是交替進(jìn)行的，則對(duì)，令表示系統(tǒng)在時(shí)間(0,t)段上的切換點(diǎn)，那么r1事件與事件發(fā)生的時(shí)間區(qū)間集合分別為：

    持續(xù)丟包事件發(fā)生的時(shí)間區(qū)間集合：，

    正常傳輸事件r1發(fā)生的時(shí)間區(qū)間集合：。

    由矩陣不等式（10），（11）可得

    （24）

    （25）

    由式（15），式（23），式（24），則對(duì)，有

    （26）

    由式（15），式（23），式（25），則對(duì)，有

    （27）

    由，則有

    （28）

    （29）

    把式（28），式（29）合并，可得在R^＋有

    （30）

    將式（30）中t從0→∞進(jìn)行積分，可得

    （31）

    即
   
    所以系統(tǒng)具有H∞性能界，定理得證。

4 仿真

    對(duì)于NBFI系統(tǒng)，設(shè)參數(shù)矩陣為：
   
    取系統(tǒng)的初始點(diǎn)。如圖4、5、6，NBFI系統(tǒng)運(yùn)行在網(wǎng)絡(luò)發(fā)生丟包時(shí)是不穩(wěn)定的：

圖4   NBFI系統(tǒng)左右網(wǎng)絡(luò)同時(shí)發(fā)生丟包現(xiàn)象的狀態(tài)響應(yīng)圖



圖5   NBFI系統(tǒng)右網(wǎng)絡(luò)發(fā)生丟包現(xiàn)象的狀態(tài)響應(yīng)圖



圖6   NBFI系統(tǒng)左網(wǎng)絡(luò)發(fā)生丟包現(xiàn)象的狀態(tài)響應(yīng)圖

    設(shè)，應(yīng)用MATLAB求解LMI式（24）、（25）、（26），得到正定對(duì)稱矩陣：
   
    令，由，對(duì)切換系統(tǒng)（5），取駐留時(shí)間，則由條件（13）得出系統(tǒng)的最大丟包率。

    對(duì)切換系統(tǒng)(6)進(jìn)行隨機(jī)切換，應(yīng)用MATLAB中的rand函數(shù)隨機(jī)產(chǎn)生一組由１,２,３,４生成的隨機(jī)數(shù)列，其中１,２,３,４分別代表系統(tǒng)的四個(gè)子系統(tǒng)。在滿足平均駐留時(shí)間和最大丟包率的情況下，應(yīng)用隨機(jī)產(chǎn)生的這組數(shù)列設(shè)計(jì)切換律（如圖７）。

圖７   系統(tǒng)(6)的切換律曲線圖

    從圖８可看出切換系統(tǒng)（6）在滿足一定的駐留時(shí)間和丟包率的情況下能夠收斂。且此時(shí)若，相應(yīng)的H∞性能指標(biāo)，若，相應(yīng)的H∞性能指標(biāo)下降到。

5  結(jié)論

    本文研究了基于網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)男滦头答佭B接系統(tǒng)。因?yàn)橄到y(tǒng)的反饋連接是通過網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)的，所以系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)依然會(huì)出現(xiàn)延遲或丟包現(xiàn)象。為此對(duì)連續(xù)的帶有丟包情況的NBFI系統(tǒng)進(jìn)行異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模，得到系統(tǒng)運(yùn)行的四種狀態(tài)，由此把帶有丟包的NBFI系統(tǒng)視為在四種狀態(tài)間切換的切換系統(tǒng)，然后運(yùn)用平均駐留時(shí)間方法和H∞控制理論，使得每次切換后在該子系統(tǒng)的駐留時(shí)間不小于一個(gè)定值時(shí)，保證系統(tǒng)在一定的丟包范圍內(nèi)是漸近穩(wěn)定的，且滿足一定H∞性能界要求。本文僅就連續(xù)線性系統(tǒng)的丟包問題進(jìn)行了研究，并沒有考慮網(wǎng)絡(luò)發(fā)生延遲或多包傳輸?shù)惹闆r，而且將來也需要對(duì)非線性的NBFI系統(tǒng)所發(fā)生的各種問題進(jìn)行細(xì)致的研究。

其他作者：

    孫洪飛，男，廈門大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院副教授，研究方向?yàn)榍袚Q系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)。

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    編號(hào)：080532