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楊延爍（1979-）
男，福建福州人，碩士研究生，（廈門大學自動化系，福建 廈門 361005）,主要研究方向為切換系統的極點配置和魯棒性。
基金項目：福建省青年科技人才創新項目基金(2005J006)，廈門大學985二期信息創新平臺項目。
摘要：研究了一類不確定線性切換系統基于狀態反饋的極點配置和LMI方法問題。此類切換系統不僅具有未知但有界的結構不確定性，而且具有外部擾動。利用公共Lyapunov函數，得到一穩定切換控制策略來保證：(1)各線性子系統的特征值位于左半復平面的選定圓內，(2)最小化閉環切換系統的擾動衰減水平。在各子系統不穩定的前提下，設計切換系統的狀態反饋控制器，使得在任意切換策略下系統的閉環極點配置在左半復平面，且具有良好的擾動衰減水平，系統漸近穩定。得到了切換系統可狀態反饋鎮定的充分條件；然后用易于求解的線性矩陣不等式形式表示出結果；最后通過仿真驗證所設計的切換系統在狀態反饋控制器下漸近穩定，且具有良好的極點配置和最小衰減水平。
關鍵詞：切換系統；極點配置；狀態反饋；LMI方法；衰減水平
Abstract: The problem of state feedback control of continuous-time switched linear systems with uncertain items is addressed in this paper. Uncertain switched systems’ pole assignment and disturbance attenuation level are studied. The switched systems not only have unknown, norm-bounded uncertainty in system’s structure, but also have exogenous disturbance. By using common Lyapunov function method, the state feedback robust controllers under arbitrary switching strategy are designed to assure each subsystem’s eigenvalue inside a chosen circle on the open left-half complex plane and the states of the systems asymptotically stable. Then the minimum disturbance attenuation level on Lyapunov function for switched systems is obtained. Both of the pole assignment and minimum disturbance attenuation level of switched systems are obtained. All of these based on convex combinations technique and linear matrix inequalities method, the result is expressed in the form of linear matrix inequalities, which can be solved easily. Finally the simulation shows that the designed controller can make the states of the switched systems asymptotically stable under the arbitrary switching strategy with poles inside chosen circles and minimum disturbance attenuation level.
Key words: switched systems; pole assignment; state feedback; LMI approach; attenuation level
1 引言
目前切換系統應用在航空、通訊、機械生產等多方面，并引起了多方面的重視[1-3]。切換系統與單一系統比較，其系統的穩定性與各子系統的穩定性密切相關，又由于存在切換策略的影響，子系統穩定并不一定使得總系統穩定。值得一提的是切換控制策略對于提高系統的性能起了重要作用，保證了系統的魯棒性和實現了控制方案。近幾年研究的問題主要有：(1)找到在任意切換下實現系統穩定的條件，(2)找到實現系統穩定的切換策略，(3)找到實現系統某些性能指標的條件。
利用固定增益得到的二次鎮定的主要缺點是結果可能過于保守，也就是，通過切換策略切換系統能夠實現鎮定，但是不能保證存在一個對于所有子系統都成立的常值反饋鎮定陣。近來取得了不少基于二次Lyapunov函數的切換控制策略的研究成果，如文獻[4]通過一個狀態依賴切換策略來鎮定切換系統，文獻[5]用狀態和輸出反饋以及LMI方法來研究連續時間切換線性系統的二次鎮定問題。
切換系統穩定性和魯棒鎮定的研究取得了不少成果[6-9]。文獻[6]進行了混雜切換系統的穩定性分析和鎮定問題的研究。文獻[7]考慮了一類離散線性切換系統的二次穩定化狀態反饋控制律的設計問題，利用多李亞普諾夫函數法推導了在任意切換下二次穩定控制律存在的充分條件，同時提供了二次穩定控制律的一個參數化表示。文獻[8]利用Lyapunov函數方法研究了一類帶有外部擾動的切換系統。解決了極點配置和擾動衰減水平的問題。但是沒有考慮帶有不確定項的切換系統的相應問題。
本文研究了一類具有不確定項和擾動的切換系統，不確定項是未知有界的，考慮了通過設計狀態反饋控制器實現閉環系統的極點配置在左半復平面給定圓心和半徑的圓域內，同時滿足系統的穩定要求，以及閉環系統的H∞衰減水平的上界。極點配置提高了系統的動態響應，H∞衰減水平的最小化確保在受到能量信號擾動下切換系統的魯棒性。假定切換規則和狀態向量是未知但實時可測的。基于公共二次李亞普諾夫函數，用LMI方法確定狀態反饋增益，來鎮定閉環系統，同時滿足極點配置和H∞性能要求。最后給出了數例，驗證了所設計方法的可行性和有效性。
2 問題描述
考慮下面具有不確定性的線性切換系統
(1)
(2)
其中。
分別是系統的狀態、控制輸入和輸出向量。
是外部擾動。
分別是第j個子系統的系統矩陣,△Aj是結構不確定項。
假設1：不確定項可分解如下形式
且
(3)
其中Dj與Ej為適當維數的常數矩陣, Fj是適當維數的未知矩陣。
引理1：對任意具有適當維數的矩陣X,Y及實數
，都有
(4)
3 主要結果
先考慮無外部擾動的系統（1）和（2），也就是
，要找到一個狀態控制器，使得閉環系統
漸近穩定。下面的定理1給出了一個充分條件。
定理1. 如果存在一個正定矩陣
和矩陣
及實數，使得
成立。
狀態反饋控制器為
， (6)
其中 
則閉環系統在任意切換策略下穩定。
證明：由(5)得
閉環系統穩定可由存在公共Lyapunov函數實現，即
令 
則
由引理1得
則
證畢。
定理1給出了使閉環系統
漸近穩定的充分條件，但要使閉環系統的極點配置在以
為圓心，rj為半徑的圓內，表示為
，即
(7)
的極點配置在內，如圖1所示。那么下面的定理2給出了充分條件。
在以下的證明中為了簡潔，設
(8)
(9)
定理2 如果存在對稱正定陣
和矩陣
及實數
，使得
(10)
則閉環系統的極點可配置在內，且系統穩定。
證明：由(10) 可得
定義矩陣
那么
等價于
由引理1得
展開得
即
該式滿足
從而由文獻[9]的結果知，上述條件實現了極點配置。
且
(11)
該式保證系統穩定。 證畢。
從定理2可得到以下結論：如果圓心和半徑選擇適當，子系統將以理想的速度漸近衰減。通過適當地選擇
，每個子系統的閉環響應能獨立設計。能用來限制每一子系統的瞬態響應范圍。例如，基于數值
，系統瞬態響應的調整時間為
。
可以確定瞬態響應振動頻率的上界。
接下來考慮帶有擾動
的系統(1)-(2)，以下定理3將給出最小化系統衰減水平的方法，通過給每個子系統一個增益陣，保證閉環系統在任意切換下穩定且得到系統最小
衰減水平。
定理3 如果存在一個公共正定矩陣和矩陣及實數，使得
(12)
則閉環系統滿足衰減水平，即對于任一輸入確定一個邊界
，使得
滿足
。
證明：由(11)可得
由上式可得
(13)
該式保證了系統的H∞最小衰減水平。
證畢。
通過定義
,且在滿足(12)式的前提下最小化
，可以求得最小的H∞保成本。(12)式的可行解給每個子系統一個增益Kj和公共Lyapunov矩陣W，確保切換系統在任意切換下實現H∞保成本。實際上，對每個子系統可以設定一個
，公共Lyapunov矩陣確保系統全局穩定，而
則是最差情況下H∞保成本。
通過定理1-3，我們既能確定切換控制律來實現每一子系統的極點配置，也能確定一個擾動衰減水平來提高切換系統的魯棒性。以下的定理4則給出了同時滿足狀態反饋下實現閉環極點配置和最小化衰減水平的充分條件。
定理4如果存在一個公共正定矩陣和矩陣及實數，使得
成立，則帶狀態反饋的閉環系統既滿足衰減水平,極點配置在
內，且閉環系統穩定。
證明：
由Schur定理及(14)式可得
該式保證了(11)式和(13)式成立，就實現了極點配置和最小化衰減水平。
4 例子
例1考慮以下切換系統，有兩個子系統，矩陣分別為
該切換系統在初始狀態
和切換規則每0.5秒切換一次下是不穩定的，如下圖2所示。
圖2 切換系統狀態變量軌跡
通過使用定理1-4于該切換系統，能得到漸近穩定的結果。如用定理2，可得到各子系統極點配置在
內且全局穩定的結果。
圖3給出了在初始條件和切換規則下經過狀態反饋和極點配置的狀態響應曲線。實線代表使用定理2后閉環系統的狀態變量的軌跡，虛線是只確保狀態穩定的狀態軌跡。比較可看出，有極點配置的曲線更光滑且更快的瞬時響應。
圖3 閉環切換系統狀態變量的軌跡
應用定理3可得出一個控制器來提高擾動衰減水平，應用定理4既得到良好的極點配置，又使系統具有最小的
衰減水平，且系統漸近穩定，如圖4所示。
應用定理4得到的增益矩陣為
Lyapunov 矩陣
圖4 狀態反饋響應曲線
4 結論
文章中的狀態反饋控制律保證了切換閉環系統的每個子系統的極點配置在左開半復平面的指定圓內，也保證了閉環切換系統在給定
衰減水平下的全局穩定。數例說明切換控制策略可解決更嚴格的設計要求，基于公共二次李亞普諾夫函數的方法提高了該類系統的動態響應。LMI公式化條件可進一步用于解決離散或輸出反饋問題。
其它作者：
張霄力(1970-)，男，河北唐縣人，副教授，博士，主要研究方向為混合系統、切換系統的穩定性等。
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北京市公安局海淀分局備案號：11010802023656號