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廖勇（1982-）
男，江西崇仁人，碩士研究生，（廈門大學自動化系，福建 廈門 361005）,主要研究方向為廣義時滯系統(tǒng)的魯棒控制等。
摘要： 針對一類廣義時滯系統(tǒng)，假定系統(tǒng)的狀態(tài)是完全可測的，基于線性矩陣不等式（LMI），通過構造Lyapunov泛函，給出了一種魯棒H∞狀態(tài)反饋控制器的設計，僅通過求解相應的線性矩陣不等式就可得到魯棒H∞狀態(tài)反饋控制器。并證明了該方法不僅使得相應的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，又能保證閉環(huán)系統(tǒng)從擾動到受控輸出之間傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)不大于給定的指標值。用數(shù)值算例驗證了所給方法的有效性。
關鍵詞：廣義時滯系統(tǒng)；狀態(tài)反饋；線性矩陣不等式
Abstract: Based on LMI and by proper Lyapunov functions, under the assumption that the system state test is available, H∞ state feedback controllers design can be obtained by solving the corresponding LMI in terms of a generalized time-delay system. This approach is proved that it can not only make the closed-loop systems asymptotically stable, but also limit the H∞ norm of the transfer function from disturbance to controlled output not greater than a given constant. At last, a numerical example is presented to illustrate the validity of this approach.
Key words: generalized time-delay systems; state feedback; LMI
1 引言
眾所周知，由于實際系統(tǒng)中元器件的老化，靈敏度不夠以及信息傳遞的延遲，時滯現(xiàn)象廣泛存在于各種實際系統(tǒng)中。而時滯的存在常常是許多實際系統(tǒng)不穩(wěn)定的根源，對正常時滯系統(tǒng)的研究已經(jīng)取得不少成果[1,2],其控制器設計方法主要集中于用Riccati型的矩陣方程式或不等式方法[3]和線性矩陣不等式(LMI)方法[4]。因為廣義時滯系統(tǒng)是比正常時滯系統(tǒng)更加廣泛的一類系統(tǒng)，因此對于廣義時滯的研究已引起了越來越多的關注。本文研究了一類廣義時滯系統(tǒng)H∞控制器的設計，給出了廣義時滯系統(tǒng)H∞控制器設計的LMI方法，并可以利用LMI工具箱方便的設計出穩(wěn)定的控制器。
2 問題的描述
考慮如下形式的廣義時滯系統(tǒng)
（1）
其中
是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，
是系統(tǒng)的控制輸入向量，
為干擾輸入向量，
為被控輸出向量，
為滯后時間，
（n維連續(xù)函數(shù)向量空間）為系統(tǒng)的初始條件。
分別是已知的具有適當維數(shù)的矩陣，且
。
定義1：對于廣義時滯系統(tǒng)（1）的矩陣
若存在
，使得
則稱系統(tǒng)（1）是正則的。
定義2：在系統(tǒng)的零初始條件下，對于任意的
，給定常數(shù)r>0如果有
則稱系統(tǒng)（1）是漸近穩(wěn)定的，且具有H∞性能。
說明：本文在以下的研究中，我們假定系統(tǒng)（1）是正則的且假定系統(tǒng)無脈沖，正則性保證了系統(tǒng)存在唯一解，而無脈沖保證了系統(tǒng)沒有無窮極點。
本文的研究目的是，對于廣義時滯系統(tǒng)（1），設計狀態(tài)反饋控制律
（2）
使得閉環(huán)系統(tǒng)
（3）
是漸近穩(wěn)定的，且滿足一定的H∞性能指標。（其中
）
3 主要結果及證明
以下是本文的第一個結果，給出了閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且具有H∞性能r的充分條件。
定理1對于系統(tǒng)（1）和給定的常數(shù)r，如果存在正定對稱矩陣Q，矩陣P,使得
(4)
(5)
則系統(tǒng)（1）具有H∞性能指標r。
證明：構造如下的Lyapunov函數(shù)
(6)
是正定對稱矩陣，顯然，
是正定的。
對（6）式求導得
考慮泛函指標
而
在系統(tǒng)的零初始條件下
，所以有
若令
（7）
則有
由Schur性質可知，（7）式可以寫成如下形式
(8)
定理2給定H∞性能指標r>0,如果存在正定對稱矩陣M，非奇異矩陣X和矩陣Y滿足
（9）
（10）
則系統(tǒng)（3）是可以狀態(tài)反饋H∞控制的，且
是系統(tǒng)的一個反饋控制律。
證明：將
代入（5），并對（4）左乘
，右乘
。對（5）左乘
，右乘
。得
令
定理可證。
4 算例
性能指標
。
利用Matlab LMI Toolbox求得：
控制律為
5 結束語
本文研究了一類廣義時滯系統(tǒng)的狀態(tài)反饋H∞控制問題，通過構造Lyapunov泛函給出了穩(wěn)定控制器設計的線性矩陣不等式（LMI）方法，可以使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，且滿足一定的H∞性能指標。利用MATLAB軟件，可以很方便地設計系統(tǒng)的控制器。因此，本文的結果具有一定的理論和實用價值。
其它作者：陳高（1984-），男，江西萍鄉(xiāng)人，碩士研究生，主要研究方向為降階控制器。
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北京市公安局海淀分局備案號：11010802023656號