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王莉 王慶林

1  引言

        Lyapunov函數(shù)在非線性控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中有著極其重要的作用。長期以來，關(guān)于Lyapunov穩(wěn)定性理論雖取得了很多結(jié)果，但不存在一般性的構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的有效方法^[1]。20世紀(jì)80年代，A.Saberi、P.V.Kokotovic和H.J.Sussmann等人對(duì)部分線性的嚴(yán)格反饋系統(tǒng)提出所謂Backstepping設(shè)計(jì)方法^[2]。這種方法采用Backstepping（反向遞推）設(shè)計(jì)，在每一步把狀態(tài)坐標(biāo)的變化、不確定參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)節(jié)函數(shù)和一個(gè)已知Lyapunov函數(shù)的虛擬控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定函數(shù)等聯(lián)系起來，通過逐步修正算法設(shè)計(jì)鎮(zhèn)定控制器，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的全局調(diào)節(jié)或跟蹤。它適用于可狀態(tài)線性化或嚴(yán)格參數(shù)反饋的不確定性系統(tǒng)，可以方便的使用符號(hào)代數(shù)軟件來實(shí)現(xiàn)^[3]。因此，Backstepping設(shè)計(jì)方法在近年來引起了有關(guān)學(xué)者的高度重視，在第十四屆IFAC世界大會(huì)及1999年美國控制會(huì)議ACC上，有近50篇論文涉及到Backstepping設(shè)計(jì)方法在不確定系統(tǒng)及各種對(duì)象中的理論與應(yīng)用研究^[3]。

        Backstepping設(shè)計(jì)方法有兩個(gè)主要的優(yōu)點(diǎn)：(1) 它通過反向設(shè)計(jì)（recursive design）使系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)和控制器的設(shè)計(jì)過程系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化；(2) 可以控制相對(duì)階為n的非線性系統(tǒng)，消除了經(jīng)典無源性設(shè)計(jì)中相對(duì)階為1的限制^[2]。因此，Backstepping設(shè)計(jì)方法一經(jīng)提出，便得到廣泛的關(guān)注，并被推廣到自適應(yīng)控制、魯棒控制等領(lǐng)域。

        Backstepping設(shè)計(jì)方法首先是針對(duì)單輸入系統(tǒng)提出的，后來被推廣到多輸入系統(tǒng)，但它存在如下兩個(gè)潛在的問題：(1) 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)需要滿足所謂塊嚴(yán)格反饋（block strict feedback）條件；(2) 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)復(fù)雜（Algebraically complex），尤其當(dāng)模型因具有不確定性而存在非線性阻尼（nonlinear damping）時(shí)^{[注1：Sliding Mode Control, I/O Linearization, Integrator Backstepping and Dynamic Surface Control. Disscussion#11. ME237-Control of Nonlinear Dynamic Systems. Anouck Girard. April 15th, 2002]。}

        本文將主要介紹Backstepping設(shè)計(jì)方法在線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)中的具體實(shí)現(xiàn)，以便讀者了解Backstepping設(shè)計(jì)方法的基本思想及其運(yùn)算過程。本文最后還簡單介紹了Backstepping設(shè)計(jì)方法的應(yīng)用情況。

2  Backstepping設(shè)計(jì)方法

        Backstepping的設(shè)計(jì)思想是：針對(duì)滿足嚴(yán)格反饋控制結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，通過Backstepping

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