數學中的重大問題通常不總會像其他科學領域的謎團一樣能引起外界的興趣。“對于數學研究是什么樣子或它的意義是什么，許多人仍然困惑不已。”密歇根大學的數學家Wei Ho說。盡管人們經常誤解她工作的性質，但Ho說這解釋起來可能并不難。“我在聚會上的閑聊話題總是關于橢圓曲線。”她補充道。Ho經常問參加聚會的人：“你記得中學學過的拋物線和圓嗎？一旦你開始創建三次方程，事情就會變得非常困難。。。。。。關于它們有很多懸而未決的問題。”
一個名為貝赫和斯維訥通-戴爾猜想（Birch and Swinnerton-Dyer conjecture）的著名未解之謎涉及橢圓曲線方程解的性質，它是克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute，CMI）創始科學顧問委員會選定的七個千禧年大獎難題之一，這些選出的問題被該研究所描述為“數學家在千年之交正在努力解決的問題中最難的一批”。2000年5月24日，在巴黎舉行的一次特別活動中，該研究所宣布為首個證明或推翻任意一個難題的人提供100萬美元的獎勵。2018 年修訂的規則規定，結果必須被“全球數學界普遍接受”。
2000 年的公告為人們提供了一個價值700萬美元的“理由”來解決這七個問題：黎曼猜想、貝赫和斯維訥通-戴爾猜想、P/NP 問題、楊-米爾斯存在性和質量間隙、龐加萊猜想、 納維-斯托克斯存在性與光滑性，以及霍奇猜想。盡管聲勢浩大，還有金錢獎勵，但21年后只有龐加萊猜想得到了證明。
意料之外的答案
2002-2003年，當時在俄羅斯科學院斯特克洛夫數學研究所的俄羅斯數學家Grigori Perelman在網上分享了與他解答龐加萊猜想的相關工作。2010年，CMI宣布Perelman已經證明了這個猜想，并在此過程中也解決了已故數學家William Thurston的相關幾何化猜想。不過，很少與公眾接觸的Perelman拒絕了獎金。
據CMI所說，龐加萊猜想聚焦于一個拓撲問題，即三維球面是否“固有”被稱為“單連通”的特性。這個特性意味著如果你用橡皮筋包裹球體的表面，在不扯斷或讓它從表面離開的前提下，你可以將橡皮筋壓縮到一個點。二維球面或甜甜圈孔是單連通的，但甜甜圈（或其他帶有孔的形狀）不是。
牛津大學數學家兼CMI所長Martin Bridson將Perelman的證明描述為“過去20年當之無愧的重大事件之一”和“我們對三維空間的理解的思想桂冠”。這一發現可能會在未來帶來更多見解。“證明需要新的工具，這些工具本身正應用于數學和物理學中，影響深遠。”弗吉尼亞大學的數學家Ken Ono說。
Ono一直專注于另一個千年問題：黎曼猜想，它涉及質數及其分布。2019 年，他和他的同事在《美國科學院院刊》上發表了一篇論文，重新審視了一種古老的，已經被棄用的方法，并用它來尋求答案。在隨附的評論中，普林斯頓高等研究院的數學家、1974年數學最高榮譽菲爾茲獎獲得者Enrico Bombieri將這項研究描述為“重大突破”。然而Ono表示，將他的工作描述為“即將證明黎曼猜想”是沒有根據的。
反面的進展
到目前為止，“列出的問題中僅有一個已經得到解決”這一事實對專家來說并不奇怪——畢竟，這些謎題已經存在很長時間，而且解答難度驚人。普林斯頓大學的數學家、2014年菲爾茲獎獲得者Manjul Bhargava表示，目前“已解決的問題數量比我預期的要多一個”。Bhargava本人最近報告了多項與貝赫和斯維訥通-戴爾猜想相關的成果。在其中一項成果里，他說他和他的同事“證明超過 66%的橢圓曲線滿足貝赫和斯維訥通-戴爾猜想”。
解答這些問題都不容易，但有些問題可能會格外棘手。P/NP問題看起來很難解決，以致于得克薩斯大學奧斯汀分校的計算機科學家Scott Aaronson稱其“顯示了我們的無知”。這個問題涉及容易驗證的問題（一類稱為NP的查詢）是否也有易于找到的解（一類稱為P的問題）。Aaronson撰寫了大量關于 P/NP問題的文章。在2009年發表的一篇論文中，他和高級研究所的數學家和計算機科學家、2021年阿貝爾獎的獲得者之一Avi Wigderson展示了證明類P與類NP不同的新障礙。Aaronson和Wigderson發現的障礙是迄今為止發現的第三個。
麻省理工學院的理論計算機科學家和數學家Virginia Vassilevska Williams說：“在證明哪些方法行不通的方面，已經取得了很多進展……證明類P不等于類NP將是證明密碼學具有良好基礎的重要墊腳石，現在的密碼學基于未經證實的假設。”其中之一就是 P 不等于 NP。“為了表明你無法破解人們在現代計算機中需要的加密協議，包括那些保護我們的金融和其他在線個人信息安全的協議，你至少需要證明 P不等于NP。”Vassilevska指出。
“如果讓我用數字說明說有多大把握，我會說P不等于NP的機會有97%或98%。”Aaronson說。
攀登珠峰
尋找“千禧年大獎難題”的答案類似于第一次嘗試攀登珠穆朗瑪峰，Ono表示：“在此過程中，有許多階梯，它們象征著取得的進展。真正的問題是：你能到達大本營嗎？就算可以，你也知道你仍然離峰頂很遠。”
對于諸如貝赫和斯維訥通-戴爾猜想猜想以及黎曼猜想等問題，Ono說：“顯然我們還在尼泊爾，”——登山的出發國之一——“但當我們到達大本營之后呢？”數學家可能仍然需要額外的“裝備”才能到達頂峰。“我們現在正試圖弄清楚數學中這些‘高科技工具’和‘氧氣瓶’會是什么，它們將幫助我們達到頂峰。”Ono說。誰知道在當前的研究和這些問題的可能解決方案之間會遇到多少障礙？“也許有 20 個，也許我們比我們想象的更接近。”Ono說。
盡管這些問題很難，數學家對長期前景持樂觀態度。“我非常希望，在我擔任克雷研究所的所長時，其中一個問題會得到解決。”Bridson說。他指出 CMI 正在制定戰略，以最好的方式繼續引起對這些問題的關注。“但必須承認，它們是非常困難的問題，可能會在我的余生中繼續影響數學卻沒有得到解決。”
來源：《環球科學》
