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張隆閣 （1979 -）

男，碩士，講師，研究方向?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微積分在控制中的應(yīng)用。

基金項(xiàng)目：華北電力大學(xué)青年基金(200611001)

摘要：針對(duì)一類(lèi)參數(shù)未知的混沌系統(tǒng)，基于分?jǐn)?shù)階微積分和Lyapunov穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)出了一族分?jǐn)?shù)階廣義同步控制器，此族控制器可通過(guò)選擇不同分?jǐn)?shù)階次得到不同的控制效果，并且都能保證閉環(huán)混沌系統(tǒng)達(dá)到漸近廣義同步. 數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了此方法的有效性。

關(guān)鍵詞：廣義混沌同步；分?jǐn)?shù)階微積分；Lyapunov穩(wěn)定性

Abstract: Based on fractional calculus and Lyapunov stability theory, a sort of 
fractional generalized synchronization is designed for a class of chaostic systems.
 Different control effect and the stability of the closed chaotic system can be obtained
 by selecting different fractional order. Numerical simulations show the effectiveness of
 the method.

Key words: Generalized chaotic synchronization; fractional calculus; Lyapunov stability

1 引言

    混沌現(xiàn)象是自然界中廣泛存在的一種非線性現(xiàn)象，混沌系統(tǒng)對(duì)初值極其敏感，從而導(dǎo)致了其類(lèi)隨機(jī)特性。自從L.M. Pecora和T.L.Larrol于1990年提出混沌系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步方法以來(lái) ^[1] ，由于混沌同步在通信保密和震蕩發(fā)生器的設(shè)計(jì)等方面的成功應(yīng)用，越來(lái)越多的受到學(xué)者們的重視，成為混沌和控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn) ^[2-5] ，常用的有反饋同步、自適應(yīng)同步、脈沖同步、耦合互同步等方法。另一方面，分?jǐn)?shù)階微積分已較好的應(yīng)用于控制和信號(hào)處理等領(lǐng)域中 ^[6-7] 。本文基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)出了分?jǐn)?shù)階廣義同步控制器，并以chen系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階廣義同步為例，驗(yàn)證了此方法的有效性。

2 分?jǐn)?shù)階微積分的定義

    分?jǐn)?shù)階微積分有多種定義方式 ^[8] 。Caputo定義有傳統(tǒng)的易于物理上解釋和實(shí)現(xiàn)的初始條件，并且對(duì)常數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分為0。所以在控制問(wèn)題研究中應(yīng)用較多的是Caputo定義。本文采用Caputo定義。

    定義1分?jǐn)?shù)階積分：一元函數(shù)的階積分定義為^[8]：
                                       （1）            

    其中，分別為積分的下界和上界，為被積函數(shù)，為積分次數(shù)，為歐拉伽馬函數(shù)。

    定義2分?jǐn)?shù)階微分：一元函數(shù)的階維微分定義為 ^[8]：
                             （2）
    其中。

3 問(wèn)題描述及同步控制器的設(shè)計(jì)

    考察兩個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)     
                                                                   （3）
                                                               （4）

    (3)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，(4)為響應(yīng)系統(tǒng)。其中分別為兩系統(tǒng)的狀態(tài)向量。，，為未知的參數(shù)向量，為未知參數(shù)向量的估計(jì)值，為廣義同步控制器。設(shè)為一常數(shù)，當(dāng)和滿足
                                                                 （5）

    時(shí)，稱(chēng)系統(tǒng)(3)和(4)廣義同步。令，將(3)和(4)代入(6)，可得
                                        （6）

    假設(shè)未知參數(shù)是分?jǐn)?shù)階的時(shí)變量，并且假設(shè)有最簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)階模型。構(gòu)造積分型Lyapunov函數(shù)，對(duì)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)，則有
                                             （7）

    將（6）式代入（7）式，且取廣義同步控制器和參數(shù)自適應(yīng)率時(shí)，，由推廣的分?jǐn)?shù)階Lyapunov理論^[9] 知，所得閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

4 chen系統(tǒng)的廣義同步

    Chen混沌系統(tǒng)的模型
                                                            （8）

    其中，是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，而是待估計(jì)的未知常數(shù)。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)(8)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，存在混沌吸引子。將(8)式化為(3)式的形式
                                                                    （9）

    其中，，
    ，為未知參數(shù)，式(9)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。響應(yīng)系統(tǒng)可以表示為，其中是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，，，為的估計(jì)值，為廣義控制器。由上一小節(jié)討論可知，當(dāng)參數(shù)自適應(yīng)律和控制律分別為和時(shí)，能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的廣義同步。此時(shí)有
    和
   

    在仿真中，取，參數(shù)的估計(jì)初始值為，分?jǐn)?shù)階次為0.95時(shí)，可使主從系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步，其仿真結(jié)果見(jiàn)圖1。

5 結(jié)論

    本文研究了一類(lèi)參數(shù)不確定的混沌系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階廣義同步。基于分?jǐn)?shù)階的Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明了此種方法設(shè)計(jì)出的同步控制器是全局穩(wěn)定的，并且可以根據(jù)未知參數(shù)分?jǐn)?shù)階次的選擇，得到不同的控制效果。最后以chen系統(tǒng)為例驗(yàn)證了此方法的有效性。

                              (a) generalized synchronization errors of

                              (b) generalized synchronization errors of  

                              (c) generalized synchronization errors of  

                                     圖1   廣義同步誤差曲線


參考文獻(xiàn)

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[9]  張隆閣，李俊民，陳國(guó)培. 利用分?jǐn)?shù)維微積分推廣Lyapunov第二方法[J]. 純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué).2005，21(3): 291-294.