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    郭  霞（1980－）
女，內蒙古人，碩士，助教，（西安交通大學城市學院，陜西  西安  710021）研究方向為智能控制，現就職于西安交通大學城市學院。

摘要： 本文根據對二階控制系統動態過程的的分析，利用系統偏差及偏差變化率制定和調整了模糊控制器的控制策略，并且應用到具有一定不確定性、難以建立精確數學模型的控制系統中，經過仿真試驗，證明該控制策略具有無靜差、響應快、精度高等優點。

關鍵詞：模糊控制；偏差；策略

Abstract:  Based on the analysis for the dynamic process of the second-order control system, this paper proposes the control strategy of the fuzzy-controller by using the system deviation and deviation rate of change. Then this strategy is applied to the control systems, which are unstable and difficult to modeling. Simulation test proves that this control strategy has no stable deviation, fast-response, high-precise and so on.

Key words: Fuzzy-control；Deviation；Strategy

1 引言

    模糊控制是近十幾年來迅速發展的一項技術,與神經網絡及專家控制并稱為智能控制。由于其簡單實用,目前已成功應用于各種控制系統中。模糊控制是以模糊集合論、模糊語言變量及模糊邏輯推理為基礎的一種計算機數學控制方法,屬于非線性控制方法。由于引入專家的邏輯思維方式,使得模糊控制器具有一定的自適應控制能力,因而特別適用于難于用精確數學模型描述的系統,并且有很強的魯棒性和穩定性。

    本文首先通過對二階控制系統動態過程的的分析，將系統偏差及偏差變化率作為系統輸入，制定和調整了模糊控制器的控制策略，然后把我們所研究出的控制策略應用到溫度控制系統中，由于溫度控制系統的對象具有大慣性、大時滯和非線性的特點,存在很多不確定的因素,所以難以建立精確的數學模型,導致控制系統性能不佳。通過試驗仿真分析，可以得出本文所提出的模糊智能控制策略可實現對數學模型不確定的控制對象的滿意控制,使系統具有可靠性高、使用壽命長等優點。

2 模糊控制規則的制定

    眾所周知，根據專家經驗或過程知識可以生成模糊控制規則，當然模糊控制規則是基于手動控制策略而建立的，而手動控制策略又是人們通過學習、實驗及長期經驗積累而逐漸形成的，是操作者或專家的一種知識集合。手動控制過程一般是先通過對被控對象或過程的觀測，操作者再根據已有的經驗和技術知識，進行綜合分析并作出控制決策，調整加到被控對象的控制作用，從而使系統達到預期的性能指標。

    手動控制的作用同自動控制系統中的控制器的作用是基本相同的，所不同的是手動控制決策是基于操作者的經驗和技術知識，而控制器的控制決策是基于某種控制算法的數值運算。

    二階系統是工程上最常見而又最重要的一類系統。通過對該類對象階躍響應曲線的分析，結合操作者經驗以及對系統動態信息的識別進行直覺推理，可以對模糊控制器的控制策略進行制定和調整。

    2.1 控制系統動態過程分析

    這里我們仍以二維模糊控制器為例（輸入為系統偏差e及偏差變化，輸出為控制量u），

圖1   二維模糊控制系統

    說明模糊控制器規則的制定及調整。參看圖1二維模糊控制系統，被控對象為二階振蕩環節，
初步制定模糊控制器的控制規則，當r(t)為階躍給定時，系統輸出c(t)、偏差e(t)=r(t)-c(t)及偏差變化曲線如圖2(a)、(b)、(c)所示。

    參看圖2，系統的響應是連續的四個相位（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ）周期重復出現，并且輸出值的變化量比上個周期逐漸減小。

    ①相位I :圖2(a)中系統輸出曲線上的a1~b1段，在控制信號作用下，被控參數處于上升階段。在這一過程中，系統響應、偏差和偏差變化的過程特性表現出，偏差e=(r-c)>0并逐漸減??；偏差變化< 0并且其絕對值逐漸加大，在相位I時，e.< 0，系統輸出趨向給定值變化。

    ②相位Ⅱ: 圖2(a)中系統輸出曲線上的段。這一過程中，

圖2   二階被控對象系統輸出、偏差及偏差變化曲線

    系統輸出值已超出了給定值，偏差e=(r-c)<0并且其絕對值逐漸加大；在這一過程中，系統響應、偏差和偏差變化的過程特性表現出，偏差e=(r-c)<0（圖2(b)) ；偏差變化< 0（圖2(c))并且其絕對值逐漸減小，在相位Ⅱ時，e.> 0，系統輸出背離給定值方向變化。

    ③相位III: 圖2(a)中系統輸出曲線上的c1~d1段。這一過程中，系統輸出值減小，但是偏差e=(r-c)<0（圖2(b)，其絕對值逐漸減??；偏差變化> 0（圖2中(c))。在相位Ⅲ時，e.< 0，系統輸出朝向給定值方向變化。

    ④相位IV: 圖2(a)中系統輸出曲線上的d1~a2段。在這一過程中，系統響應、偏差和偏差變化的過程特性表現出，偏差e=(r-c)>0（圖2(b))并逐漸變大；偏差變化> 0（圖2(c))并且逐漸減小，在相位Ⅳ時，e.< 0，系統輸出背離給定值方向變化。

    之后，控制系統重復Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ相位過程，但是偏差以及偏差變化的數量級逐漸變小，其模糊語言值減小。將上述系統響應曲線的不同階段，偏差e、e&、e×e&及系統響應變化趨勢c用表1表示出來。

    由表1可以看出，四個相位區中，e×e&>0（表中相位Ⅱ、Ⅳ），系統響應背離給定值；當e×e&<0時，系統響應趨向給定值（表中相位Ⅰ、Ⅲ）。
  
    表1   偏差、偏差變化、及系統輸出的變化趨勢
   

	相位I	相位II	相位III	相位IV
偏差e	>0	<0	<0	>0
偏差變化e&	<0	<0	>0	>0
e×e&	<0	>0	<0	>0
c的變化趨勢	趨向給定值	背離給定值	趨向給定值	背離給定值

    2.2 模糊控制規則的調整

    十字交叉規則庫的形式如表2所示。如前所述，輸入變量分別為偏差e及偏差變化e&，輸出為控制量u。所謂十字交叉，就是我們首先寫出輸入變量e及e&的模糊語言值為“Z0”時的控制規則。如當e&的值為“Z0”時，控制量u的模糊語言值按輸入變量e的值確定，即規則為：

 If e is NL and e& is Z0 Then u is NL
 If e is NM and e& is Z0 Then u is NM
   L
 If e is PL and e& is Z0 Then u is PL

    如表2中間的一列。上述規則的物理意義是很明顯的，輸入變量偏差變化e&為Z0，即意味著偏差e處于極值狀態。見圖2，當偏差為e=r-c為NL時，系統超調大，當然應施加一個u為NL的控制量能夠盡快地將被控參數c調節到給定值上，其它情況類推。
     
    表2   十字交叉規則庫
    

u		輸入變量e&
		NL	NM	NS	Z0	PS	PM	PL
輸 入 變 量 e	NL				NL
	NM				NM
	NS				NS
	Z0	NM	NS	NS	Z0	PS	PS	PM
	PS				PS
	PM				PM
	PL				PL

    仍然參看圖2，當輸入變量偏差e為Z0，即意味著偏差e&處于極值狀態。控制量u的模糊語言值按輸入變量e&的值確定，即規則為：

 If e is Z0 and e& is NL Then u is NL
 If e is Z0 and e& is NM Then u is NM
   L
 If e is Z0 and e& is PL Then u is PL

    表2中間地一行，這樣就形成了一個十字交叉的控制規則。

    十字交叉規則寫出之后，表2中明顯出現四個空白區，即

    ⑴偏差e>0，偏差變化e&<0，e.e&<0； 

    ⑵偏差e<0，偏差變化e&<0，e.e&>0； 

    ⑶偏差e<0，偏差變化e&>0，e.e&<0； 
   
    ⑷偏差e>0，偏差變化e&>0，e.e&>0。

    ① 依據前面的分析，如表1所列的那樣，寫出上述四個空白區控制規則的物理意義就明確了。偏差e>0，偏差變化e&<0，e.e&<0，相當于圖2中的相位Ⅰ。偏差為正，偏差變化為負，系統輸出朝向給定值的方向變化。值得注意的是，由圖2可知，偏差e及偏差變化e&不會同時獲得極值。但是從系統動態過程分析來看，如果偏差e為“PL”,且偏差變化e&為 “NL”時，則說明盡管偏差e較大，但在迅速地減小，系統輸出c朝向給定值的方向變化快，如果控制量u為“P”,則系統就會超調，因而在這種情況下，控制器輸出u可以為“Z0”，其規則為：

 If e is PL and e& is NL Then u is Z0

    當偏差e減小，如為“PS”,而偏差變化e&為 “NL”時，說明在小的正偏差下，系統輸出c朝向給定值的方向變化快，為了擬制系統可能的超調的趨勢，不僅控制量u不為“P”,而且應為“N”,其規則可以是

 If e is PS and e& is NL Then u is NS

    ② 偏差e<0，偏差變化e&<0，e.e&>0，相當于圖2中的相位Ⅱ。系統超調，且繼續向背離給定值方向變化，為了使系統輸出盡快靠攏給定值，模糊控制器的輸出u為“N”,且絕對值較大，例如當e為“NS”,e&為“NL”時，其控制規則可以是

 If e is NS and e& is NL Then u is NL

    該規則說明，雖然偏差e不大，但偏差變化速度較快，因而為被控對象施加一個較大的負向控制量。

    ③ 偏差e<0，偏差變化e&>0，e.e&<0，相當于圖2中的相位Ⅲ。系統輸出c向給定值方向變化。為了防止系統失調（系統輸出低于給定值），在偏差｜e｜較大時，若偏差變化e&較大，系統輸出c向給定值方向變化快，控制規則可以是

 If e is NL and e& is PL Then u is Z0
 If e is NS and e& is PL Then u is PS

    上述兩條規則說明，當偏差e為“NL”，偏差變化e&為“PL”時，可以使控制量u為零，使系統輸出向著給定值方向變化；而當偏差e為“NS”，偏差變化e&為“PL”時，雖然偏差數量不大，但系統輸出向著給定值方向變化快，因而模糊控制器可以提供一個較小的正控制量“PS”，用于擬制系統失調的勁頭。

    ④ 偏差e>0，偏差變化e&>0，e.e&>0，相當于圖2中的相位Ⅳ。這種情況與相位Ⅱ是一樣的，只是系統輸出變化方向相反，模糊控制器提供較大的控制量u。其規則可以是

 If e is PS and e& is PL Then u is PL
 If e is PS and e& is PS Then u is PM等。

    根據以上的論述，可以初步確定出如表3所表示的規則庫。當然，我們還應該在系統仿真或系統實現中進一步調整規則庫，以取得滿意的控制性能指標。

    表3   常見二輸入、一輸出的模糊控制規則表

u		輸入變量e&
		NL	NM	NS	Z0	PS	PM	PL
輸 入 變 量 e	NL	NL	NL	NL	NL	NM	NS	Z0
	NM	NL	NL	NM	NM	NS	Z0	Z0
	NS	NL	NM	NM	NS	Z0	Z0	PS
	Z0	NM	NS	NS	Z0	PS	PS	PM
	PS	NS	Z0	Z0	PS	PM	PM	PL
	PM	Z0	Z0	PS	PM	PM	PL	PL
	PL	Z0	PS	PM	PL	PL	PL	PL

3 模糊控制系統的應用 

    控制工程的基本目標就是提取和應用有關怎樣控制過程的知識，使得控制系統能夠可靠、安全實現高性能的運行。怎樣最好地控制一個過程的經驗，是寶貴的知識。下面我們就論述和設計一個模糊控制系統；同時論述在設計過程中出現的新問題及其解決方案。

    3.1 溫度控制系統

    設計一個溫度模糊控制系統。被控對象為一熱處理工藝過程中的加熱爐，加熱設備為三相交流調壓供電裝置，輸入控制信號電壓為0～5V，輸出相電壓0～220V，輸出最大功率180KW，參看圖3電加熱裝置示意圖。

    3.1.1控制系統性能指標：

    ① 溫度調節范圍：100℃～500℃；

    ② 系統無靜差（即穩態誤差為零）。

    3.1.2確定控制方案

    該系統被控對象為加熱爐，通過改變加熱電阻上的電壓調節爐膛溫度。圖3中，從控制信號u(t)到爐膛溫度c(t)可以看作廣義被控對象，當控制信號u(t)=5V時，爐膛溫度最高可以達到625℃，如圖4所示。被控對象具有慣性特征，當然可以采用傳統PID控制設計。但是，我們這里不寫出被控對象的精確數學模型，設計模糊控制系統，通過與PID控制的對比，說明模糊控制的優點。

圖4   廣義被控對象

    由于設計要求為無靜差控制系統，被控對象具有慣性特征，為達到設計要求，因此采用二維模糊PID控制器，參看圖5。系

圖5   模糊PID控制系統

    統結構采用二維模糊控制器與積分算法相結合的形式實現模糊PID控制器。首先我們對該控制方案進行分析，明確其控制特點。由圖5可知，提供給被控對象的控制量為：

 u1(kT)=u1(kt-T)+KuDu(kT)+KeKie(kT)   （1）

    式中的T為采樣周期；Ku為模糊控制器輸出增益系數；Ki為積分系數。

    由式（1）可知，u1(kT)控制變量由三部分組成，第一部分是上一采樣時刻的控制量u1(kt-T)；第二部分是由模糊控制器提供的增量輸出KuDu(kT)；第三部分是KeKie(kT)。

    對式（1）兩邊取Z變換，

 U1(z)=z-1U1(z)+KuDU(z)+KeKiE(z)
   （2）

    在Z域中，1/(1-z-1)具有累加和的性質，相當于連續域中的積分。由式（3.2）可知控制變量u1(kT)是對以下兩項積分的結果：第一項是模糊控制器提供的增量輸出KuDu(kT)，第二項是KeKie(kT)。我們知道，如果只有第一項，根據模糊控制器的性質，當Ku(kT)=0時，其系統偏差e(kT)不一定為零，此時控制變量u1(kT)保持不變，其結果不能消除系統靜態偏差。第二項是u1(kT)對KeKie(kT)的積分，理論上只有e(kT)=0，u1(kT)才能停止變化，系統達到無靜差控制。

    3.1.3輸入、輸出變量隸屬函數及論域的選擇
   
    ⑴ 隸屬函數的選擇

    系統中模糊控制器采用所謂“標準”形式，即二輸入、一輸出變量模糊集論域均為[-6，6]，采用常用的三角形隸屬函數，如圖6所示。

    ⑵ 偏差e(t)的論域及增益系統Ke值的選擇

    對于模糊控制器來說，輸入變量的論域，根據專家的經驗，如果認為系統偏差e(t)=r(t)-c(t)的值大于、等于30℃就應該是語言值的最大值“PL”, e(t)的值小于、等于－30℃就是“NL”,因此偏差e(t)的論域為［-30 30］，Ke的初選值為：

  30.Ke=6
則  Ke=6/30=0.2
                       
    如果根據專家的經驗，系統偏差e(t)=r(t)-c(t)的值大于、等于20℃就應該是語言值的最大值“PL”, e(t)的值小于、等于－20℃就是“NL”,那么偏差e(t)的論域為［-20 20］，Ke的初選值為

  20.Ke=6
則  Ke=6/20=0.3                      

    設計中，我們初步選定Ke=0.3。

    值得說明的是，模糊控制器輸入變量偏差e(t)的論域并不等于系統運行過程中偏差的范圍，例如我們要設計的加熱爐控制系統，在給定值為400℃時，若加熱爐的初始溫度為室溫25℃，則系統的初始偏差為e(0)=400-25=375℃。但是，從控制的角度來說，偏差e(t)≥30℃時，專家就可能認為是模糊最大值“PL”。

    ⑶ 偏差變化(t)=de(t)/dt的論域及增益系統Kc的選擇

    類似于偏差e(t)，如果能夠知道e&(t)的變化范圍，就可以在該范圍內確定e&(t)輸入到模糊控制器的論域。應該注意到的是，該論域小于e&(t)的變化范圍。初步選擇出Kc的值后，經仿真或實驗修正Kc的值，以便達到滿意的系統性能指標。

圖6   模糊控制器的隸屬函數

    根據被控對象在系統運行中偏差變化e&(t)的范圍，選擇e&(t)的論域及系數Kc。因為

 e(t)=r(t)-c(t)      （3）
 de(t)/dt=dr(t)/dt-dc(t)/dt    （4）

    當r(t)為常數時，de(t)/dt=0，因此

 de(t)/dt=-dc(t)/dt     （5）

    由式（3.5）可知，在恒定給定的情況下，偏差變化速率(t)=de(t)/dt等于被控對象輸出變化速率，只是相差一個負號，即-dc(t)/dt。被控對象在階躍輸入下其輸出響應變化的速率最大。因此，需要對被控對象做一個簡單的階躍響應試驗。

    一般來說，若被控對象本身為穩定的情況下（即最小相位環節），其階躍響應為過阻尼和欠阻尼兩種情況，現在分別來討論這兩種情況下的響應速率問題。

    ① 階躍響應為過阻尼的情況

    參看圖4所示，其控制輸入量u(t)=(0~5)V，對象輸出為c(t)=(0~5)℃，這些數據在設計的開始階段是很容易獲得的。現在給廣義對象施加一個控制電壓u(t)=4V的階躍輸入，廣義對象的響應如圖6所示。

    觀察圖6，對象響應曲線穩定在500℃，計算由0℃上升到穩態值500℃的63.2％，即

 500×63.2%=316(℃)

圖7   被控對象過阻尼階躍響應

    在圖6的縱坐標上316℃處作水平線與響應曲線c(t)相交于A點，由A點作垂線與橫坐標相交于B點，橫坐標上由0到B點的距離我們稱為對象的估計時間常數T（將對象等效為具有一階慣性特征），由圖6知，T=112.5S。在這種情況下，對象的最大響應速率為：

 e&(t)=316 / 112.5=2.81(℃/S)

    因而，對于恒定給定來說，偏差變化率｜e&(t)｜的最大值為2.81℃/S。類似于偏差e(t)，考慮到實際運行控制情況時，偏差變化e&(t)輸入到模糊控制器的模糊集論域應在｜e&(t)｜的最大值為2.81℃/S以內選擇。例如，選擇模糊集論域為｜e&(t)｜的最大值的五分之一，即

 2.81×0.2=0.562(℃/S)

    則e&(t)的模糊集論域為［-0.562，0.562］℃/S。那么，Kc的初選值為：

 Kc=6 / 0.562=10.67

    ② 階躍響應為欠阻尼的情況

    如果被控對象的階躍響應是欠阻尼的情況，響應曲線c(t)超調并振蕩衰減趨于穩態值，見圖7。對象響應的最大變化率估計算法是：c(t)上升與穩態值500℃相交于A點，由A點作垂線與橫坐標相交于B點，橫坐標上由0到B點稱為c(t)的上升時間tr，圖7中tr=75S，e&(t)的估計值為：

 500 / 75=6.67(℃/S)

    因而，對于恒定給定來說，偏差變化率｜e&(t)｜的最大值為6.67℃/S。和過阻尼的情況一樣，如果選擇e&(t)時模糊集論域為｜e&(t)｜的最大值為6.67℃/S的五分之一，即

 6.67×0.2=1.334(℃/S)

    則e&(t)的模糊集論域為［-1.334, 1.334］℃/S。增益系數Kc的初選值為：

 Kc=6 / 1.334=4.5

圖8   被控對象階躍響應為欠阻尼的情況

    ⑷ 模糊控制器輸出u(kT)論域及增益系數Ku的選擇

    如圖4所示，模糊控制器采用增量輸出方式，輸出量為u(kT)，論域為［-6，6］, Ku.u(t)表示在一個采樣用周期內，控制變量u1(t)的增量，顯然最大增量值為6Ku。由圖5可知，控制量u1(t)的論域為［0，5］V，其最大值為5V，最大增量u1(t)一般是u1(t)最大值的％位，如選u1(t)為5×2％＝0.1，那么Ku的初選值為

 Ku=0.1/6=0.0167

    ⑸ 增量積分系數Ki的選擇

    由控制理論可知，積分的作用就在于消除系統靜態偏差，系統偏差較大時，系統由PD模糊控制器起調節作用，當系統偏差較小時，積分作用能夠消除系統偏差。由圖4.27看出，增量積分控制環節的輸入論域為［-6，6］，當偏差｜e&(t)｜=6時，初步設定積分增量為 

 =6×1%=0.06

    Ki選的大，調節過快，上升時間短，系統超調可能較大；Ki選的過小，過渡時間較長。因此，初步選擇

 Ki=0.01

    3.1.4 控制規則表

    根據專家的控制知識，制定控制規則表，如表3所示。值得注意的是，模糊控制器中，規則的制定要滿足一定的要求： 
   ⑴ 從直覺上看，模糊控制算法應該總能為每個過程狀態推理得到一個合適的控制作用，這個特性稱作“完備性”。就是說不能有失控的情況出現。

    ⑵ 模糊控制規則數

    由于在選擇最佳模糊控制規則數時需要考慮一系列的因素（如控制器的性能、計算效率、操作工的行為和語言變量的選擇等），所以不存在一種通用的確定方法。在一般小系統中也許只用幾條規則，但在大型系統中就可能要用幾百條規則。雖然模糊控制規則數的確定具有一定的隨意性，并且可以在設計、調試過程中，甚至在已經完成之后都可隨時增加新的規則，但是模糊控制規則數的增加會導致系統響應速度變慢，有可能會影響控制的實時性。

    ⑶ 模糊控制規則的一致性

    模糊控制規則的生成是基于人工操作的經驗，那么規則要服從不同的性能標準。實踐中，對規則的一致性進行檢查，盡量減少出現互相矛盾的規則，見表3。

    3.1.5根據前面論述的方法，可以離線計算出模糊控制器控制表（見表4）

    表4   在線推理模糊控制器控制規則表

控制量u		輸入變量偏差變化e&
		-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
輸 入 變 量 偏 差 e	-6	-6	-6	-6	-6	-6	-6	-6	-5	－4	－3	－2	－1	0
	-5	-6	-6	-6	-5.5	-5	-5	-5	-4	-3	-2	-1	0	1
	-4	-6	-6	-6	-5	-4	-4	-4	-3	-2	-1	0	1	2
	-3	-6	-5.5	-5	-4.5	-4	-3.5	-3	-2	-1	-0.5	0	1	2
	-2	-6	-5	-4	-4	-4	-3	-2	-1	0	0	0	1	2
	-1	-5	-4	-3	-3	-3	-2	-1	0	1	1	1	2	3
	0	-4	-3	-2	-2	-2	-1	0	1	2	2	2	3	4
	1	-3	-2	-1	-1	-1	0	1	2	3	3	3	4	5
	2	-2	-1	0	0	0	1	2	3	4	4	4	5	6
	3	-1	-0.5	0	0.5	1	2	3	3.5	4	4.5	5	5.5	6
	4	0	0	0	1	2	3	4	4	4	5	6	6	6
	5	0	0.5	1	2	3	4	5	5	5	5.5	6	6	6
	6	0	1	2	3	4	5	6	6	6	6	6	6	6

    3.2 控制系統性能分析

    完成了以上的初步設計，接著就可以對系統進行仿真或實驗分析。有關系統仿真問題，在這里采用MATLAB中的Simulink對系統進行仿真。

    要進行系統仿真，就需要被控對象的數學模型，即仿真模型。仿真模型不要求完全精確，從我們所做的簡單階躍響應實驗結果中，可以寫出被控對象的簡單模型，依據該模型進行仿真實驗，如果仿真結果證明其系統性能指標較好，改變仿真模型再進一步仿真，反復實驗就能取得較滿意的結果，說明所設計的模糊控制系統魯棒性好，達到了仿真的目的，增強設計者對本設計的信心。

    3.2.1仿真模型的建立

    根據上面有關被控對象階躍響應實驗結果：過阻尼響應和欠阻尼響應。

    （1）過阻尼響應，參看圖6。這時可以將被控對象看作一階慣性環節：

        （6）

    T為時間常數，T=112S；K為放大系數，階躍響應實驗時，廣義對象輸入控制信號為4V,對象輸出穩定在500℃，因此放大系數K=500 / 4=125(℃/V)。圖6中，響應輸出無滯后，則。由此，仿真模型可粗略地寫為：

      （7）

    （2）欠阻尼響應

    在控制工程實踐中，二階系統極為常見，并且許多高階系統的運動特性在一定條件下可以用二階系統的運動特性來表征。因而，對于欠阻尼階躍響應，可以先將廣義被控對象看作二階模型。我們知道，二階系統傳遞函數為：

        （8）

    其中T為二階系統的時間常數，為阻尼比,為無阻尼自然振蕩頻率。單位階躍響應：

         （9）
 
    式中，

           （10）

    欠阻尼二階系統的階躍響應與特征參數和T（或Wn）有關：

          （11）
 
            （12）

    參看圖9階躍響應曲線，測量出上升時間tr=75S及峰值時間tp=115S。

圖9   欠阻尼階躍響應情況

    由式（11）和式（12）計算出二階模型的參數：

    =0.46， 

    因而，被控對象的二階參考模型為：

        （13）

    被控對象階躍輸入為4V時，對象輸出穩定在500℃，因而到廣義對象的放大系數

    K=500/4=125(℃/V)

    系統仿真模型

           （14）

    3.2.2 仿真系統框圖

    有了對象的初步模型，就可以對模糊控制系統進行仿真，用MATLAB中的Simulink畫出系統仿真圖，如圖10所示。

圖10   系統仿真框圖

    圖中的模糊控制器FLC可以是離線計算好的控制表，也可以采樣Fuzzy Tool在線推理。模糊控制器的兩個輸入上限幅均為6下限幅為-6；控制信號u1(t)的上限幅為5V，下限幅為0V。

    ⑴ 首先按照上面初選的一組參數Ke=0.3，Kc=13.5，Ku=0.02，Ke=0.01進行仿真，當系統輸入為階躍信號r(t)=400℃時，其系統響應如圖10所示。

圖11   階躍給定系統響應

    系統無靜差，系統最大超調15℃。

    ⑵ 將系數Ke變小，其它參數不變，如Ke=0.1，Kc=13.5，Ku=0.02，Ke=0.01再次仿真，其系統響應如圖11所示。系統超調明顯減小，最大超調量為2℃。

圖12   系數Ke變小時，系統階躍響應

    ⑶ 在系統參數保持不變的情況下，Ke=0.1，Kc=13.5，Ku=0.02，Ke=0.01，改變被控對象的模型，再次仿真。參看圖12系統階躍響應曲線。

圖13   改變被控對象數學模型時系統階躍響應

    曲線①對應被控對象數學模型為；曲線②對應被控對象數學模型為；曲線③對應被控對象數學模型為。

4 結束語

    通過理論分析和仿真實驗均表明本文所提出的控制策略是可行的，尤其是對于一些具有不確定性、難以建立精確數學模型的控制系統，不但可以使系統達到無靜差，提高它的響應速度，還具有非常廣泛的適用性，具有推廣應用的價值。

參考文獻：

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    [5]沈輝.精通SIMULINK系統仿真與控制 .北京：北京大學出版社，2003.

    編號：080534