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廖勇（1982—）
男，江西撫州人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閺V義系統(tǒng)的魯棒控制。
摘要:首先利用線性矩陣不等式（LMI）方法，給出線性廣義時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定的一個(gè)充分條件；然后討論廣義時(shí)滯系統(tǒng)的H∞狀態(tài)反饋控制，給出控制器存在的充分條件，同時(shí)給出控制器的設(shè)計(jì)，控制器可由矩陣不等式解得。
關(guān)鍵詞：廣義時(shí)滯系統(tǒng)；線性矩陣不等式；H∞控制
Abstract: Using the method of linear matrix inequality (LMI),H∞ state feedback control problem for linear singular systems with time-delay in state is discussed. A sufficient condition which guarantees the asymptotical stability of the closed-loop system is given. Furthermore, one sufficient condition for the existence of an H∞ state feedback controller is shown. The controller can be obtained via solving matrix inequality.
Key words:Singular time-delay system; LMI; H∞ control
為適應(yīng)近代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展以及大型工程技術(shù)的需要，人們提出了非傳統(tǒng)數(shù)學(xué)模型描述的廣義系統(tǒng)。信息傳遞等因素致使系統(tǒng)普遍存在滯后現(xiàn)象[1,2]，因而人們又提出滯后廣義系統(tǒng)[3,4]。滯后廣義系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜[4]，既不同于無滯后的廣義系統(tǒng)，又不同于通常的滯后系統(tǒng)。
H∞控制理論是魯棒理論的一個(gè)重要分支，近年來隨著無滯后線性系統(tǒng)H∞理論的日趨成熟和完善，滯后線性系統(tǒng)的H∞理論也得到了相應(yīng)的發(fā)展[5,6]。但由于廣義滯后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，致使對滯后廣義系統(tǒng)的H∞控制問題的研究仍處于初級(jí)階段[4]。本文利用線性矩陣不等式方法，討論一般的廣義時(shí)滯系統(tǒng)H∞控制問題，給出了問題可解的一個(gè)充分條件以及控制器設(shè)計(jì)。
1 問題描述與預(yù)備知識(shí)
考慮如下線性廣義時(shí)滯系統(tǒng)
（1）
其中：
為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，
為控制輸入，
為干擾輸入，
為控制輸出，
為滯后常數(shù)，
為任一連續(xù)的滿足相容性條件的初始函數(shù)，各系數(shù)矩陣為適維常陣。特別地，
。不失一般性，假設(shè)
，Bl和Dl都為零矩陣，否則可通過狀態(tài)擴(kuò)維方式將系統(tǒng)（1）轉(zhuǎn)化為
本文的目的是設(shè)計(jì)無記憶的狀態(tài)反饋
（2）
其中
為常陣，使得系統(tǒng)（1）與反饋控制器（2）構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)
(3)
滿足如下條件：1）內(nèi)穩(wěn)定；2）
，其中：
表示從干擾輸入W(t)到被控輸出Z(t)的傳遞函數(shù)，
為給定常數(shù)。
設(shè)有滯后廣義系統(tǒng)
（4）
其中：
為n×n奇異常數(shù)矩陣，
且連續(xù)，
方程（4）的初始條件為
（5）
在給出穩(wěn)定性概念之前，還需引用如下記號(hào)：
1） 區(qū)間Tk=[0,tk)，其中
；
2） m維連續(xù)可微向量函數(shù)q(t,x)在
上有定義；
3） sk(t0,tk)為使得方程（4）至少在[t0,tk)上有連續(xù)解的所有相容初始函數(shù)的全體；
4）
。
定義1[7]若
，總存在
，使得
，方程（4）通過初始條件
的解
滿足
和
，則方程（4）的零解關(guān)于
穩(wěn)定。
特別地，若
僅與
有關(guān)，而與t0無關(guān)，則方程（4）的零解關(guān)于{q(t,x),Tk}一致穩(wěn)定。
定義2[7]若方程（4）的零解關(guān)于
是穩(wěn)定的，且
，有
則稱方程（4）的零解關(guān)于
漸近穩(wěn)定。
引理1[8]給定矩陣
,若
,且
, 則
可 行 當(dāng) 且 僅 當(dāng)
, 若（6）可 行， 記
則（6）的所有可行解為
其中,
滿足,
,其中，
,
的一個(gè)滿秩分解。
引理2[9]若存在矩陣
和正定陣
滿足
（7）
則系統(tǒng)（3）零解漸近穩(wěn)定。
引理 3[9] 若存在矩陣和正定陣滿足
（8）
則閉環(huán)系統(tǒng)（3）內(nèi)穩(wěn)定且
。
引理4[9]若存在矩陣
,和正定矩陣
滿足如下LMI不等式
（9）
其中
，則系統(tǒng)（1）的H∞控制問題有解，即系統(tǒng)（3）內(nèi)穩(wěn)定，且滿足H∞范數(shù)界
。此時(shí)控制器
，其中
。
2 主要結(jié)果
定理1 若存在矩陣和正定陣滿足
則系統(tǒng)（3）零解漸近穩(wěn)定。
其中，
。
證明 引理2中（7）的第二個(gè)不等式等價(jià)于下式
則將引理1的結(jié)果應(yīng)用于引理2即可得定理1。
下面給出系統(tǒng)（3）內(nèi)穩(wěn)定且滿足H∞范數(shù)界，即的一個(gè)充分條件。
定理2 若存在矩陣和正定陣滿足
則閉環(huán)系統(tǒng)（3）內(nèi)穩(wěn)定且。
其中，
,而且所有的矩陣P滿足以下兩式：
（10）
（11）
其中，
，
滿足,
，其中,
,
是
的一個(gè)滿秩分解。
證明 
，因?yàn)檎ǎ?IMG style="border:1px solid #000" src="/uploads/images/cases/2007/11/1201584008.jpg" align=middle >，則
。將引理1中的結(jié)果應(yīng)用到引理3即可證明定理2（證明略）。
定理3 若存在矩陣
,和正定矩陣
滿足如下矩陣不等式
（12）
其中，,則系統(tǒng)（1）的H∞控制問題有解，即系統(tǒng)（3）內(nèi)穩(wěn)定，且滿足H∞范數(shù)界。
證明 使用兩次Schur補(bǔ)引理可將（8）式簡化成下列不等式
(Q+CTC)
+(A+BK)+(A+BK)T+
<0
將引理1的結(jié)果應(yīng)用到引理4即可得定理3。
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（廈門大學(xué)自動(dòng)化系，福建 廈門 361005） 廖 勇，曾建平
北京市公安局海淀分局備案號(hào)：11010802023656號(hào)