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    李鐘慎：華僑大學機電及自動化學院

    控制系統(tǒng)常用的動態(tài)性能指標包括三個方面：①過渡過程的品質(zhì)指標，如超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間、上升時間等；②正定二次型積分泛函；③誤差泛函積分評價指標，是以控制系統(tǒng)的誤差函數(shù)e(t)為泛函的積分評價，包括IE、ISE、ISTE、IAE、ITAE等。其中，ITAE性能指標又以較好的實用性和選擇性得到了廣泛的應用，許多文獻把ITAE看作是單輸入單輸出控制系統(tǒng)和自適應控制系統(tǒng)的最好性能指標之一[1]。應用Parseval定理并借助計算機可以求出位移無靜差、勻速無靜差、勻加速無靜差ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)，其中位移無靜差ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)具有較好的平穩(wěn)性和快速性，是一組適用于工程控制系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)。本文將以位移無靜差ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)為例研究1~8階ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的極點分布、時域響應和頻域響應，ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的分母多項式系數(shù)與加權(quán)矩陣的關系等。

    1  ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)

    ITAE準則即時間乘絕對誤差積分準則是最常用的目標函數(shù)之一，它表示為
                                                 （1）

    如果把誤差e(τ)組成的泛函看成是一種“損失函數(shù)”，那么，式（1）的積分指標就可以看成是控制系統(tǒng)由一個狀態(tài)變換到另一個狀態(tài)時，以某種損失為最小代價實現(xiàn)它的控制目的，這時就認為這個系統(tǒng)具有某種最優(yōu)控制律。因此，式（1）的積分JITAE取極小值，就說該系統(tǒng)具有ITAE最優(yōu)控制。它對誤差e(τ)加以時變τ的權(quán)，在過渡過程之初，τ→0，權(quán)τ對e(τ)的影響極小；在對控制系統(tǒng)動態(tài)性能影響最大的中間段τ∈[τ0，τt]，隨著權(quán)τ的增加，逐漸加強對e(τ)的權(quán)τ的作用，以抑制誤差的增大，促進它加快收斂，因此，ITAE最優(yōu)控制具有快速而又平穩(wěn)的過渡過程。

    應用Parseval定理并借助計算機可以求出ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)。ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)為
                                                 （2）

    表1給出了式（2）中ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)分母多項式的系數(shù)[1]。

    表1 ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)分母多項式的系數(shù)

    令        ，可得歸一化的ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)為
                                                 （3）

    2  ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的極點分布

    根據(jù)式（3）和表1的歸一化的ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)，采用MATLAB可以繪制出1~8階ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的極點分布圖，

    如圖1所示，圖1中的“ｏ”表示極點。

    從圖1(a)、(b)可以看出1～2階歸一化ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的極點分布在單位圓上，分布情況與歸一化Butterworth最優(yōu)傳遞函數(shù)的極點分布相同。

    從圖1(c)、(d)、(e)、(f))可以看出3～6階歸一化ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)改善性能的方法主要是通過增大主導極點的模來減小系統(tǒng)過渡時間；減小主導極點的阻尼角，即增大其與虛軸的夾角，來減小系統(tǒng)的超調(diào)。并且，為了使穩(wěn)態(tài)誤差為零必須減小其它非主導極點的模。

    從圖1(g)7階歸一化ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的極點分布圖知，主導極點十分接近虛軸。必然使得系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間大大延長。
從圖1(h)8階歸一化ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的極點分布圖知，2個極點分布在負實軸上。由于主導極點靠近虛軸，系統(tǒng)穩(wěn)定性也被削弱。

    3  ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)時域與頻域響應

    通過編寫程序，繪出1～8階歸一化ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的階躍響應圖，如圖2所示。
   

(c) n=3 

 圖2 歸一化ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的階躍響應圖

    表2 歸一化ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的性能指標

 圖3 歸一化ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的Bode圖

    按文獻[6]的方法，文獻[6]所給例子的加權(quán)矩陣Q如表3所示。從表3可以看出，加權(quán)矩陣Q主對角線的元素與ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)分母多項式的系數(shù)有一定的關系，不同的系數(shù)體現(xiàn)了對系統(tǒng)狀態(tài)重視程度的不同。

    5  結(jié)語

    從ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的極點分布、時域響應和頻域響應可以看出，2~6階位移無靜差ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)都具有較好的平穩(wěn)性和快速性。二次型性能指標中的加權(quán)矩陣Q主對角線的元素與ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)分母多項式的系數(shù)有一定的關系。這些研究結(jié)果將大大促進ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的廣泛應用，為進一步研究ITAE最優(yōu)控制問題打下良好的基礎。

    其他作者：王永初（1937―），男，華僑大學機電及自動化學院教授，博士生導師，研究方向為過程控制。

    參考文獻

    [1] 項國波.ITAE最佳控制[M].北京:機械工業(yè)出版社,1986.213-287.

    [2] 楊益群,項國波.新的ITAE最佳傳遞函數(shù)標準型[J].信息與控制,1997,26(4):259-265.

    [3] 張志涌,劉瑞楨.對經(jīng)典ITAE傳遞函數(shù)標準型的研究[J].福州大學學報:自然科學版,1997,25(3):120-121.

    [4] 李玉榕,李維謙.基于遺傳算法的ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)標準型優(yōu)化[J].福建電腦,2003(9):26.

    [5] 曹毅.關于位移無靜差系統(tǒng)ITAE最佳標準化傳遞函數(shù)的修正[J].浙江大學學報：自然科學版,1989，23(4):550-559.

    [6] 李鐘慎,洪健,王永初.ITAE最優(yōu)控制的逆問題[J].華僑大學學報:自然科學版,2005,26(4):404-407.