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    李鐘慎：華僑大學機電及自動化學院

    控制系統常用的動態性能指標包括三個方面：①過渡過程的品質指標，如超調量、調節時間、上升時間等；②正定二次型積分泛函；③誤差泛函積分評價指標，是以控制系統的誤差函數e(t)為泛函的積分評價，包括IE、ISE、ISTE、IAE、ITAE等。其中，ITAE性能指標又以較好的實用性和選擇性得到了廣泛的應用，許多文獻把ITAE看作是單輸入單輸出控制系統和自適應控制系統的最好性能指標之一[1]。應用Parseval定理并借助計算機可以求出位移無靜差、勻速無靜差、勻加速無靜差ITAE最優傳遞函數，其中位移無靜差ITAE最優傳遞函數具有較好的平穩性和快速性，是一組適用于工程控制系統的最優參數。本文將以位移無靜差ITAE最優傳遞函數為例研究1~8階ITAE最優傳遞函數的極點分布、時域響應和頻域響應，ITAE最優傳遞函數的分母多項式系數與加權矩陣的關系等。

    1  ITAE最優傳遞函數

    ITAE準則即時間乘絕對誤差積分準則是最常用的目標函數之一，它表示為
                                                 （1）

    如果把誤差e(τ)組成的泛函看成是一種“損失函數”，那么，式（1）的積分指標就可以看成是控制系統由一個狀態變換到另一個狀態時，以某種損失為最小代價實現它的控制目的，這時就認為這個系統具有某種最優控制律。因此，式（1）的積分JITAE取極小值，就說該系統具有ITAE最優控制。它對誤差e(τ)加以時變τ的權，在過渡過程之初，τ→0，權τ對e(τ)的影響極小；在對控制系統動態性能影響最大的中間段τ∈[τ0，τt]，隨著權τ的增加，逐漸加強對e(τ)的權τ的作用，以抑制誤差的增大，促進它加快收斂，因此，ITAE最優控制具有快速而又平穩的過渡過程。

    應用Parseval定理并借助計算機可以求出ITAE最優傳遞函數。ITAE最優傳遞函數為
                                                 （2）

    表1給出了式（2）中ITAE最優傳遞函數分母多項式的系數[1]。

    表1 ITAE最優傳遞函數分母多項式的系數

    令        ，可得歸一化的ITAE最優傳遞函數為
                                                 （3）

    2  ITAE最優傳遞函數的極點分布

    根據式（3）和表1的歸一化的ITAE最優傳遞函數，采用MATLAB可以繪制出1~8階ITAE最優傳遞函數的極點分布圖，

    如圖1所示，圖1中的“ｏ”表示極點。

    從圖1(a)、(b)可以看出1～2階歸一化ITAE最優傳遞函數的極點分布在單位圓上，分布情況與歸一化Butterworth最優傳遞函數的極點分布相同。

    從圖1(c)、(d)、(e)、(f))可以看出3～6階歸一化ITAE最優傳遞函數改善性能的方法主要是通過增大主導極點的模來減小系統過渡時間；減小主導極點的阻尼角，即增大其與虛軸的夾角，來減小系統的超調。并且，為了使穩態誤差為零必須減小其它非主導極點的模。

    從圖1(g)7階歸一化ITAE最優傳遞函數的極點分布圖知，主導極點十分接近虛軸。必然使得系統調節時間大大延長。
從圖1(h)8階歸一化ITAE最優傳遞函數的極點分布圖知，2個極點分布在負實軸上。由于主導極點靠近虛軸，系統穩定性也被削弱。

    3  ITAE最優傳遞函數時域與頻域響應

    通過編寫程序，繪出1～8階歸一化ITAE最優傳遞函數的階躍響應圖，如圖2所示。
   

(c) n=3 

 圖2 歸一化ITAE最優傳遞函數的階躍響應圖

    表2 歸一化ITAE最優傳遞函數的性能指標

 圖3 歸一化ITAE最優傳遞函數的Bode圖

    按文獻[6]的方法，文獻[6]所給例子的加權矩陣Q如表3所示。從表3可以看出，加權矩陣Q主對角線的元素與ITAE最優傳遞函數分母多項式的系數有一定的關系，不同的系數體現了對系統狀態重視程度的不同。

    5  結語

    從ITAE最優傳遞函數的極點分布、時域響應和頻域響應可以看出，2~6階位移無靜差ITAE最優傳遞函數都具有較好的平穩性和快速性。二次型性能指標中的加權矩陣Q主對角線的元素與ITAE最優傳遞函數分母多項式的系數有一定的關系。這些研究結果將大大促進ITAE最優傳遞函數的廣泛應用，為進一步研究ITAE最優控制問題打下良好的基礎。

    其他作者：王永初（1937―），男，華僑大學機電及自動化學院教授，博士生導師，研究方向為過程控制。

    參考文獻

    [1] 項國波.ITAE最佳控制[M].北京:機械工業出版社,1986.213-287.

    [2] 楊益群,項國波.新的ITAE最佳傳遞函數標準型[J].信息與控制,1997,26(4):259-265.

    [3] 張志涌,劉瑞楨.對經典ITAE傳遞函數標準型的研究[J].福州大學學報:自然科學版,1997,25(3):120-121.

    [4] 李玉榕,李維謙.基于遺傳算法的ITAE最優傳遞函數標準型優化[J].福建電腦,2003(9):26.

    [5] 曹毅.關于位移無靜差系統ITAE最佳標準化傳遞函數的修正[J].浙江大學學報：自然科學版,1989，23(4):550-559.

    [6] 李鐘慎,洪健,王永初.ITAE最優控制的逆問題[J].華僑大學學報:自然科學版,2005,26(4):404-407.